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3.3.4 Leitidee Funktionaler Zusammenhang  |
3.3.4 Leitidee Funktionaler Zusammenhang
Die Schülerinnen und Schüler lernen neue Funktionstypen (Potenzfunktion, ganzrationale Funktion, Sinusfunktion und Exponentialfunktion) kennen und untersuchen diese auf charakteristische Eigenschaften. Sie vertiefen ihr Wissen über die Wirkung von Parametern auf Graphen. Sie beantworten inner- und außermathematische Fragestellungen mithilfe von Funktionen quantitativ. Die Bearbeitung komplexer, realitätsnaher Fragestellungen fördert dabei eine zunehmende Funktionenkompetenz.
Inhaltliche Überlegungen, systematisches Ausprobieren und elektronische Hilfsmittel kommen bei Problemlösungsprozessen ebenso zum Einsatz wie kalkülhafte und algorithmische Verfahren.
Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit einem propädeutischen Grenzwertbegriff, sie beschreiben und interpretieren das Änderungsverhalten von Größen analytisch. Sie nutzen Ableitungen zur Bestimmung von momentanen Änderungsraten, zur Linearisierung sowie zur Untersuchung von Funktionen und deren Graphen. Sie beschreiben Zusammenhänge zwischen dem Graphen einer Funktion und dem ihrer Ableitungsfunktion.
Die unterstrichenen Teilkompetenzen sind erst in Klasse 10 zu unterrichten.
| Die Schülerinnen und Schüler können |
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mit Funktionen umgehen |
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(1)
die Graphen der Potenzfunktionen f mit f(x)=xn,n∈ mathbbN und f(x)=xk (k=−1,‑2) unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren |
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(2)
anhand einer Betrachtung der Graphen von f mit f(x)=x2 und der Wurzelfunktion g mit g(x)=√x den Funktionsbegriff und dabei auch die Begriffe Definitionsmenge und Wertemenge erläutern |
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(3)
anhand der Funktion f mit f(x)=x2 und der Wurzelfunktion \(g) mit g(x)=√x den Begriff der Umkehrfunktion beschreiben, den Zusammenhang ihrer Graphen erläutern und ihre Definitionsmengen und Wertemengen vergleichen |
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(4)
die Graphen der Exponentialfunktionen f mit f(x)=c⋅ax+d unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren |
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(5)
Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben und Berechnungen durchführen sowie die Bedeutung von Halbwertszeit und Verdopplungszeit erläutern |
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BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_IK_11_01_00_06, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_07_01, BP2016BW_ALLG_GYM_PH.V2_IK_9-10_04_00_02, BNE_02, BNE_04, PG_04, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_IK_11_01_00_05, PG_02, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_07_03, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_07_02, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_IK_11_01_00_07, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_03_05, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_03_11, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_03_13, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_03_12, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_03_10, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_03_02, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_03_01, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_04_02
Verweise auf inhaltsbezogene Kompetenzen
Verweise auf inhaltsbezogene Kompetenzen |
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(6)
die Wirkung von Parametern in Funktionstermen von Potenz‑, Exponential- und Wurzelfunktion auf deren Graphen abbildungsgeometrisch als Streckung, Spiegelung, Verschiebungen deuten |
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(7)
ganzrationale Funktionen auf Nullstellen (auch mehrfache) untersuchen |
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BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_IK_11_01_00_08
Verweise auf inhaltsbezogene Kompetenzen
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(8)
Funktionsterme ganzrationaler Funktionen mithilfe von Nullstellen in faktorisierter Form angeben |
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(9)
die Sinusfunktion der Form f(x)=a⋅sin(b⋅x) zur Beschreibung periodischer Vorgänge verwenden, insesondere mithilfe digitaler Mathematikwerkzeuge verwenden |
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BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_03_03, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_03_05, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_03_11, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_03_12
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(10)
charakteristische Punkte von Graphen trigonometrischer Funktionen f mit f(x)=a⋅sin(b⋅x) angeben, auch auf ganz R |
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(11)
die Graphen trigonometrischer Funktionen f mit f(x)=a⋅sin(b(x−c))+d unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften skizzieren und die Wirkung der Parameter a, b, c, d abbildungsgeometrisch als Streckung, Spiegelung, Verschiebungen deuten, auch sin(x+π/2)=cos(x) |
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(12)
Funktionen auf ihr Verhalten für |x|→∞ und deren Graphen auf Symmetrie (zum Ursprung oder zur y-Achse) untersuchen |
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(13)
die Definition für Monotonie angeben |
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(14)
den Unterschied zwischen lokalen und globalen Maxima beziehungsweise Minima erklären |
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die Grundidee der Differentialrechnung verstehen und mit Ableitungen umgehen |
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(15)
die mittlere Änderungsrate einer Funktion auf einem Intervall (Differenzenquotient) bestimmen und auch als Sekantensteigung interpretieren |
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(16)
die momentane Änderungsrate als Ableitung an einer Stelle aus der mittleren Änderungsrate durch Grenzwertüberlegungen bestimmen |
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(17)
die Ableitung an einer Stelle als Tangentensteigung interpretieren |
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(18)
die Gleichung der Tangente und der Normale in einem Kurvenpunkt aufstellen |
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(19)
eine Tangente an einen Graphen als lineare Approximation einer Funktion nutzen |
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(20)
Steigungswinkel mithilfe der Ableitung berechnen |
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(21)
die Ableitungsfunktion als funktionale Beschreibung der Ableitung an beliebigen Stellen erklären |
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(22)
die Faktorregel und die Summenregel anschaulich begründen |
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BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_IK_11_01_00_12
Verweise auf inhaltsbezogene Kompetenzen
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(23)
den Monotoniesatz erläutern und dessen Nichtumkehrbarkeit begründen |
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(24)
die Eigenschaften von Funktionen und deren Graphen mithilfe von Ableitungsfunktionen (auch höheren Ableitungen) untersuchen (Monotonie, Extrempunkte, Krümmungsverhalten, Wendepunkte) |
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(25)
vom Graphen einer Funktion auf den Graphen ihrer Ableitungsfunktion schließen und umgekehrt |
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(26)
den Zusammenhang zwischen der Funktion f mit f(x)=sin(x) und ihrer Ableitungsfunktion f′mit f′(x)=cos(x) graphisch erläutern |
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BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_07_08, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_IK_11_01_00_13, BP2016BW_ALLG_GMSO_M.V2_PK_01_02
Verweise auf inhaltsbezogene Kompetenzen
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