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Vorbemerkungen

 

Bildungsplanübersicht

Schuljahr Bildungsplaneinheiten Zeitricht-wert Gesamt-stunden
Jahrgangsstufe 1 Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP) 20
1 Grundlagen aus Mengenlehre und Aussagenlogik
6
2 Methoden mathematischen Arbeitens
12
3 Gleichungen und Ungleichungen
12
4 Wahlgebiete
8
5 Funktionen und Differentialrechnung
12 70
Zeit für Leistungsfeststellung 10
80
Jahrgangsstufe 2 Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP) 16
6 Integralrechnung
15
7 Wahlgebiete
25 56
Zeit für Leistungsfeststellung 8
64

Jahrgangsstufe 1

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

20

Vertiefung

Individualisiertes Lernen

Projektunterricht

z. B.
Übungen
Anwendungen
Wiederholungen
z. B.
Selbstorganisiertes Lernen
Lernvereinbarungen
Binnendifferenzierung
z. B.
„Mathematik zum Anfassen“
Besuch einer Hochschule
Teilnahme an Mathematikwettbewerben
Die Themenauswahl des Projektunterrichts hat aus den nachfolgenden Bildungsplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen.

BPE 1

Grundlagen aus Mengenlehre und Aussagenlogik

6

Viele Sachverhalte in der Mathematik lassen sich durch Mengen und Aussagen effizient beschreiben. Grundkenntnisse über Mengenlehre und Aussagenlogik sind darüber hinaus von allgemeinbildendem Charakter, da sie in vielen Bereichen, wie beispielsweise der Informatik, Anwendung finden. Die Bildungsplaneinheit kann integrativ in den anderen Einheiten behandelt werden.

BPE 1.1

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Zahlenmengen mithilfe korrekter mathematischer Fachsprache und Symbolik, insbesondere unter Einsatz der Mengenoperationen und des Teilmengenbegriffs. Sie beurteilen den Wahrheitsgehalt von Aussagen und bestimmen dazu geeignete Wahrheitstabellen.

Mengendarstellungen
(aufzählend, beschreibend, Intervall)

Mengenoperationen
(Vereinigung, Schnitt, Differenz, Komplement)

Teilmengen

Aussagenlogik
(und, oder, nicht, genau dann wenn, wenn dann)
Konjunktion, Disjunktion, Negation, Äquivalenz, Implikation
Wahrheitstabellen

BPE 2

Methoden mathematischen Arbeitens

12

Das Beweisen von Aussagen nimmt eine zentrale Stellung in der Mathematik ein. Die Schülerinnen und Schüler erfassen Zusammenhänge, verbalisieren Vermutungen und Aussagen. Dabei vertiefen sie das mathematische Argumentieren und benutzen dabei die korrekte mathematische Fachsprache. Sie entwickeln Beweisideen und wenden gängige Beweisprinzipien auf geeignete Beispiele an.

BPE 2.1

Die Schülerinnen und Schüler ermitteln aus konkreten Beispielen allgemeingültige mathematische Aussagen. Sie untersuchen vorgegebene mathematische Beweise und erläutern dabei die verschiedenen Beweisprinzipien. Die Schülerinnen und Schüler weisen selbst vergleichsweise einfache Aussagen selbst nach. Sie nutzen ihnen bekannte Beweisideen zum Beweis ähnlicher Aussagen.

Gewinnung und Formulierung mathematischer Aussagen

  • experimentieren
  • visualisieren
  • Hypothesenbildung
  • Heuristik
z. B. 1+3+5+7+…
Proof without words
Beweisaufbau

  • Voraussetzung
  • Behauptung

  • logisches Schließen
Implikation und Äquivalenz
Beweistechnik

  • Gegenbeispiel
  • direkter Beweis
  • indirekter Beweis
z. B. Goldener Schnitt, Eulerscher Polyedersatz, Sätze aus der Elementargeometrie, Sinus- und Kosinussatz, Additionstheoreme, Elemente der Zahlentheorie (Teilbarkeitsregeln, Unendlichkeit der Menge aller Primzahlen, Pythagoreische Zahlentripel), Irrationalität von \(\sqrt 2 \), Summenformel von Gauß

BPE 3

Gleichungen und Ungleichungen

12

Gleichungen und Ungleichungen sind zentrale Elemente vieler mathematischer Problemstellungen und Modellbildungsprozesse. Im Kontext von Wurzel- und Betragstermen wenden die Schülerinnen und Schüler neue Techniken des Lösens von Gleichungen und Ungleichungen an. Sie untersuchen dabei insbesondere die Übertragbarkeit von Äquivalenzumformungen von Gleichungen auf Ungleichungen. Im Zusammenspiel von grafischer und algebraischer Lösung erläutern sie die Bedeutung von Gleichungen und Ungleichungen zur Beschreibung geometrischer Objekte und Bereiche im Koordinatensystem.

BPE 3.1

Die Schülerinnen und Schüler wenden bekannte Lösungsstrategien auf Betrags- und Wurzelgleichungen an. Sie beschreiben das Konzept der Fallunterscheidung bei der Lösung von Betragsgleichungen und begründen insbesondere bei Wurzelgleichungen die Notwendigkeit der Probe im Hinblick auf Äquivalenzumformungen.

Betragsgleichungen
z. B. \(\left| {x + 2} \right| - \left| {2x - 3} \right| = 2\)
Wurzelgleichungen
z. B. \(\sqrt x + \sqrt {5 - x} = 3\)
Fallunterscheidung

Probe
nach Quadrieren

BPE 3.2

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben beim Lösen von Ungleichungen den Einfluss von Äquivalenzumformungen auf das Ungleichheitszeichen. Sie wenden sowohl bei Betrags- als auch bei Bruchungleichungen das Konzept der Fallunterscheidung an und geben die Lösungsmenge mithilfe der Aussagenlogik oder der Mengenoperationen an.

Betragsungleichungen
z. B. \(x + \left| {2x} \right| <1\)
Bruchungleichungen
z. B. \(\frac{{x + 1}}{{x - 3}} > 2\)
Fallunterscheidung

Darstellung der Lösungsmengen
z. B. \(L = \{ x \in {\Bbb R}|x <1\) oder \(x> 5\} \)
\(\; = \,] - \infty ;1[\, \cup \, ]5;\infty [\)

BPE 4

Wahlgebiete

8

In dieser Unterrichtseinheit wenden die Schülerinnen und Schüler bereits erworbene Kompetenzen auf neue mathematische Kontexte an. Davon ausgehend erarbeiten sie sich neue mathematische Fragestellungen oder Anwendungsgebiete. Durch forschendes Lernen erkunden und diskutieren die Schülerinnen und Schüler verschiedene Problemzugänge.

BPE 4.1

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die spezifischen Problemstellungen eines der Wahlgebiete und untersuchen möglichst selbstständig geeignete Lösungsmethoden.

Berühmte mathematische Probleme
z. B. Collatz-Folgen, Satz von Fermat, Vierfarbensatz
Parameterdarstellung von Kurven
z. B. Rollkurven
Folgen und Konvergenz
z. B. auch zur Vorbereitung auf eine eventuelle Teilnahme an der Zertifikatsklausur
Numerische Verfahren
z. B. Fixpunktverfahren
Algebraische Kurven
z. B. Ellipsen und andere Kegelschnitte
Finanzmathematik
z. B. Zins‑, Tilgungs- und Rentenrechnung
Komplexe Zahlen
z. B. verschiedene Darstellungsarten
Graphentheorie
z. B. Routenplaner, Travelling-Salesman
Zahlentheorie
z. B. Verteilung von Primzahlen, Teilbarkeitsregeln
Spieltheorie
z. B. Nash-Gleichgewicht, Efron-Bradley-Würfel
Kryptologie
z. B. RSA, Angreifbarkeit
Geometrie
z. B. sphärische Geometrie
Topologie
z. B. Knotentheorie

BPE 5

Funktionen und Differentialrechnung

12

Die Schülerinnen und Schüler nutzen Funktionen zur Beschreibung und Untersuchung quantifizierbarer Zusammenhänge, z. B. in den Naturwissenschaften, Technik und Wirtschaft. Dabei lernen sie weitere Funktionstypen kennen, die u.a. zur Modellierung von Gesetzmäßigkeiten in der Physik, Prozessen in der Technik und Abläufen im Alltag verwendet werden.
Die Schülerinnen und Schüler ermitteln die Eigenschaften weiterer Funktionstypen und bestimmen Unterschiede und Gemeinsamkeiten zu bereits bekannten. Dabei wenden sie passende Ableitungsregeln an und bestimmen Methoden, um z. B. auch mehrfach verknüpfte Funktionen abzuleiten.

BPE 5.1

Die Schülerinnen und Schüler wenden Ableitungsregeln an.

Quotientenregel
z. B. \(f(x) = \frac{{{x^2} + \sin (x)}}{{1 - x}}\)
Vertiefung von Produkt- und Kettenregel
Verbindung der Ableitungsregeln
z. B. \(f(x) = {e^{ - 3{x^2}}}\sin (5x + \frac{\pi }{3})\)

BPE 5.2

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen die Eigenschaften weiterer Funktionsklassen mit den aus dem Mathematikunterricht bekannten Verfahren und Methoden. Dazu stellen die Schülerinnen und Schüler die zugehörigen Schaubilder grafisch dar, berechnen charakteristische Punkte und bestimmen Definitions- und Wertebereich.

Gebrochen-rationale Funktionen
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen

Abschnittsweise definierte Funktionen
Betragsfunktionen
Tangensfunktion
links- und rechtsseitige Ableitung

Jahrgangsstufe 2

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

16

Vertiefung

Individualisiertes Lernen

Projektunterricht

z. B.
Übungen
Anwendungen
Wiederholungen
z. B.
Selbstorganisiertes Lernen
Lernvereinbarungen
Binnendifferenzierung
z. B.
Organisation einer Vortragsreihe innerhalb der Schule
Organisation einer Ausstellung innerhalb der Schule
Die Themenauswahl des Projektunterrichts hat aus den nachfolgenden Bildungsplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen.

BPE 6

Integralrechnung

15

Die Schülerinnen und Schüler erweitern ihre Methodenkenntnis in der Integralrechnung. Sie lernen auch Funktionen kennen, zu denen es keine elementare Stammfunktion gibt, und bei denen numerische Verfahren angewendet werden müssen. Im Anschluss diskutieren die Schülerinnen und Schüler kontextbezogen die Qualität der berechneten Näherungswerte.

BPE 6.1

Die Schülerinnen und Schüler weisen durch Ableiten nach, dass eine Funktion Stammfunktion ist. Sie bestimmen Stammfunktionen mit unterschiedlichen Verfahren. Dabei entscheiden sich die Schülerinnen und Schüler für ein geeignetes Integrationsverfahren und begründen die Auswahl des Verfahrens.

Stammfunktionen

  • Nachweis durch Ableitung
  • Integration durch Substitution
  • Produktintegration
einfache gebrochen-rationale Funktionen
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Tangensfunktion

BPE 6.2

Die Schülerinnen und Schüler erläutern die Bedeutung von numerischen Integrationsmethoden und berechnen bestimmte Integrale mit numerischen Verfahren. Dabei entscheiden sie über die für den Sachzusammenhang erforderliche Genauigkeit und beurteilen die Qualität der Ergebnisse.

Numerische Verfahren
Rechteckregel
Trapezregel
Keplersche Fassregel
summierte Verfahren
Monte-Carlo-Methode

BPE 7

Wahlgebiete

25

In dieser Unterrichtseinheit wenden die Schülerinnen und Schüler bereits erworbene Kompetenzen auf neue mathematische Kontexte an. Davon ausgehend erarbeiten sie sich neue mathematische Fragestellungen oder Anwendungsgebiete. Durch forschendes Lernen erkunden und diskutieren die Schülerinnen und Schüler verschiedene Problemzugänge.

BPE 7.1

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die spezifischen Problemstellungen zweier Wahlgebiete und untersuchen möglichst selbstständig geeignete Lösungsmethoden.

Trigonometrische und hyperbolische Funktionen
arcsin und arccos
sinh und cosh
arsinh und arcosh
Additionstheoreme
Anwendungen
Vertiefung der Differentialrechnung
offene Optimierungsaufgaben, unterschiedliche Lösungsmethoden
einfache Differentialgleichungen
Vertiefung der Integralrechnung
Vertiefung der Integration durch Substitution
Partialbruchzerlegung
uneigentliche Integrale
Anwendungen
z. B. Bogenlänge eines Funktionsgraphen,
Volumen bei Rotation um die y-Achse
Vertiefung der Vektorgeometrie
Kreise und Kugeln, zugehörige Schnittprobleme
abstrakte Vektorräume
Vertiefung der Matrizenrechnung
Rangbetrachtung
lineare Gleichungssysteme mit Parameter
Matrizengleichungen
Invertierbarkeit von Matrizen
Vertiefung Stochastik
stetige Zufallsvariable
Normalverteilung und weitere stetige Verteilungen
Hypothesentest
Wirtschaftsmathematik
Anwendung der Differential- und Integralrechnung
Lineare Optimierung
grafische Methoden und Simplexverfahren
Weitere Beweisverfahren
z. B. vollständige Induktion, auch zur Vorbereitung auf eine eventuelle Teilnahme an der Zertifikatsklausur

Operatorenliste

In den Zielformulierungen der Bildungsplaneinheiten werden Operatoren (= handlungsleitende Verben) verwendet. Diese Zielformulierungen (Standards) legen fest, welche Anforderungen die Schülerinnen und Schüler in der Regel erfüllen. Zusammen mit der Zuordnung zu einem der drei Anforderungsbereiche (AFB) dienen Operatoren einer Präzisierung. Dies sichert das Erreichen des vorgesehenen Niveaus und die angemessene Interpretation der Standards.

Anforderungsbereiche
Anforderungsbereich I umfasst das Wiedergeben von Sachverhalten im gelernten Zusammenhang unter rein reproduktivem Benutzen eingeübter Arbeitstechniken (Reproduktion).
Anforderungsbereich II umfasst das selbstständige Erklären, Bearbeiten und Ordnen bekannter Inhalte und das angemessene Anwenden gelernter Inhalte und Methoden auf andere Sachverhalte (Reorganisation und Transfer).
Anforderungsbereich III umfasst den reflexiven Umgang mit neuen Problemstellungen, den eingesetzten Methoden und gewonnenen Erkenntnissen, um zu eigenständigen Begründungen, Folgerungen, Deutungen und Wertungen zu gelangen (Reflexion und Problemlösung).
Operator Erläuterung Zuordnung
AFB
angeben, nennen
für die Angabe bzw. Nennung ist keine Begründung notwendig
I
begründen, nachweisen, zeigen
Aussagen oder Sachverhalte sind durch logisches Schließen zu bestätigen. Die Art des Vorgehens kann – sofern nicht durch einen Zusatz anders angegeben – frei gewählt werden (z. B. Anwenden rechnerischer oder grafischer Verfahren), das Vorgehen ist darzustellen
II, III
berechnen
die Berechnung ist ausgehend von einem Ansatz darzustellen
I, II, III
beschreiben
bei einer Beschreibung kommt einer sprachlich angemessenen Formulierung und gegebenenfalls einer korrekten Verwendung der Fachsprache besondere Bedeutung zu, eine Begründung für die Beschreibung ist nicht notwendig
II, III
bestimmen, ermitteln
die Art des Vorgehens kann – sofern nicht durch einen Zusatz anders angegeben – frei gewählt werden (z. B. Anwenden rechnerischer oder grafischer Verfahren), das Vorgehen ist darzustellen
I, II, III
beurteilen
das zu fällende Urteil ist zu begründen
II, III
deuten, interpretieren
die Deutung bzw. Interpretation stellt einen Zusammenhang her z. B. zwischen einer grafischen Darstellung, einem Term oder dem Ergebnis einer Rechnung und einem vorgegebenen Sachzusammenhang
II, III
erläutern
die Erläuterung liefert Informationen, mithilfe derer sich z. B. das Zustandekommen einer grafischen Darstellung oder ein mathematisches Vorgehen nachvollziehen lassen
II, III
entscheiden
für die Entscheidung ist keine Begründung notwendig
I, II
grafisch darstellen, zeichnen
die grafische Darstellung bzw. Zeichnung ist möglichst genau anzufertigen
I
skizzieren
die Skizze ist so anzufertigen, dass sie das im betrachteten Zusammenhang Wesentliche grafisch beschreibt
I, II, III
untersuchen
die Art des Vorgehens kann – sofern nicht durch einen Zusatz anders angegeben – frei gewählt werden (z. B. Anwenden rechnerischer oder grafischer Verfahren), das Vorgehen ist darzustellen
II, III
vgl. Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife, Beschluss der KMK vom 18.10.2012


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