Suchfunktion

Mathematik

Vorbemerkungen

Klasse 8

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

40

Vertiefung

Individualisiertes Lernen

Projektunterricht

z. B.
Übungen
Anwendungen
Wiederholungen
z. B.
Selbstorganisiertes Lernen
Lernvereinbarungen
Binnendifferenzierung
z. B.
Projekt Reise – Gegenüberstellung von verschiedenen Anreisemöglichkeiten unter dem Aspekt: Strecke, Dauer, Kosten, CO2-Emission.
Erstellung eines Erklärvideos zum Vergleich von Kauf oder Finanzierung von z. B. Handy, Smart-TV, Mofa.
Origami und Geometrie
Teilnahme an Wettbewerben wie z. B. Mathe im Advent
Die Themenauswahl des Projektunterrichts hat aus den nachfolgenden Bildungsplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen.

BPE 1

Termumformungen

20

Die Schülerinnen und Schüler beherrschen das Rechnen mit Variablen. Sie erfassen dabei die Abfolge der Rechenhierarchien und die Notwendigkeit der Klammersetzung. Diese nutzen sie, um Terme mit Variablen zu vereinfachen, zu berechnen und Sachzusammenhänge mathematisch, übersichtlich und präzise zu formulieren.

BPE 1.1

Die Schülerinnen und Schüler wenden die Rechengesetze bei Termen mit Variablen an. Darüber hinaus deuten sie Sachzusammenhänge als Terme und berechnen den Wert von Termen durch das Einsetzen von Zahlen.

Rechnen mit Termen
auch Terme mit mehreren Variablen
  • Aufstellen von Termen

  • Vereinfachen von Termen

  • Einsetzen von Zahlen
Kopfrechnungen, Überschlagsrechnungen, Ergebnisse schätzen und kontrollieren
  • Multiplikation von Summen
z. B. \((2a + 3) \cdot (8 + 4b)\)
z. B. \( \left( x + \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} x - 4 \right) \)
  • Faktorisieren
z. B. \(8a + 2 = 2(4a + 1)\)
z. B. \(2{x^2} + 4x = x (2x + 4) \)
z. B. \({x^2} + 8x + 16 = {(x + 4)^2}\)
Potenz als Schreibweise
\(a \cdot a = {a^2}\)
Binomische Formeln

BPE 2

Lineare Gleichungen

15

Die Schülerinnen und Schüler wenden ihre Rechenfertigkeiten auf lineare Gleichungen, lineare Ungleichungen und einfache Bruchgleichungen an.

BPE 2.1

Die Schülerinnen und Schüler berechnen mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind. Auch wenden sie die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen an.

Äquivalenzumformungen

  • lineare Gleichungen
z. B. Seitenlänge bei gegebenem Umfang eines Quadrats
  • einfache Formeln
z. B. \(s = v \cdot t\), Auflösen nach jeder Variablen
  • Bruchgleichungen mit einer Variablen, Definitionsmenge
z. B. \(2 = \frac{8}{{x - 2}}\); Definitionsmenge \(D = \Bbb Q \backslash \{ 2\} \)
  • lineare Ungleichungen
z. B. \(3 <2 - x\),
Lösungsmenge \(L = \{ x \in {\Bbb Q}|x <- 1\}\)

BPE 2.2

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die Grundbegriffe der Prozent- und Zinsrechnung. Sie berechnen Prozentwert, Grundwert, Prozentsatz und Zins.

Prozentrechnung
Anwendungsaufgaben
  • Grundwert
  • Prozentwert
  • Prozentsatz

Zinsrechnung
Anwendungsaufgaben
  • Kapital
  • Zinssatz
  • Zins

BPE 3

Lineare Funktionen

30

Die Schülerinnen und Schüler erfassen und interpretieren in Situationen aus dem Alltag, den Naturwissenschaften, der Technik und der Wirtschaft die Abhängigkeiten zwischen zwei Größen als funktionale Zusammenhänge. Den Funktionsbegriff erkennen sie als fundamentales Element der Mathematik.

BPE 3.1

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen und interpretieren funktionale Zusammenhänge sprachlich und unter Verwendung von Tabellen und Schaubildern und führen die verschiedenen Darstellungsformen situationsgerecht ineinander über.

Darstellungsformen von funktionalen Zusammenhängen
z. B. Zeit-Weg, Gefäße: Füllhöhe-Volumen, Tarife, Messwerte
Projekte: Reise und Finanzierungsmodelle
  • verbal

  • Tabelle
  • Schaubild
z. B. größte und kleinste Werte, Zu- und Abnahme, Zeitpunkte, eindeutige und nicht eindeutige Zuordnungen
Proportionalität und Antiproportionalität
z. B. Menge und Preis, Anzahl und Preis pro Person

BPE 3.2

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben lineare Zusammenhänge unter Berücksichtigung des Funktionsbegriffes.

Lineare Funktion

  • \(f(x) = mx + b;x \in {\Bbb Q}\)
  • Wertetabelle
  • Schaubild
  • Definitions- und Wertemenge
Änderungsverhalten im Sachzusammenhang, z. B. Tarife, Prepaid-Karte, Wertverlust, Änderungsrate
  • Nullstelle
\(f(x) = 0 \)

BPE 3.3

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Gleichung, die Steigung und den y-Achsenabschnitt von Geraden und zeichnen Geraden in ein Koordinatensystem.

Gerade

  • \(g:y = mx + b\)
„Die Gerade g mit der Gleichung …“
z. B. \(g:y = 2;\,\,h:y = 2x + 3;\,g:y = x;\,h:y = - x\)
  • Steigung \(m = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\), Steigungsdreieck

  • y-Achsenabschnitt

BPE 3.4

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Schnittpunkte von Geraden mit den Koordinatenachsen und weisen nach, ob ein Punkt auf der Geraden liegt. Sie untersuchen die gegenseitige Lage von zwei Geraden und berechnen die gemeinsamen Punkte.

Achsenschnittpunkte

Punktprobe
P liegt auf g; \(P \in g\)
Lage zweier Geraden
zeichnerisch, algebraisch durch Gleichsetzungsverfahren; \(g \parallel h,\,g \cap h = \{ S\}, g \perp h \)
  • parallel, orthogonal
  • gemeinsame Punkte

BPE 3.5

Die Schülerinnen und Schüler ermitteln Gleichungen von Geraden.

Aufstellen von Geradengleichungen
z. B. zwei Punkte, Steigung und ein Punkt, parallel zu einer anderen Gerade und durch einen Punkt
  • zeichnerisch
  • rechnerisch

BPE 4

Lineares Gleichungssystem

10

Die Schülerinnen und Schüler erkennen den vielfältigen Einsatz und Nutzen von linearen Gleichungssystemen.

BPE 4.1

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Sachzusammenhänge als lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen, lösen diese grafisch und bestimmen die Lösung rechnerisch mit einem Verfahren. Sie untersuchen auf Lösbarkeit und Lösungsvielfalt.

Lineares Gleichungssystem
z. B. Tarifvergleiche, Gegenseitige Lage zweier Geraden, Zahlenrätsel
Zeichnerische Lösung

Rechnerische Lösung
z. B. Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren
Lösbarkeit und Lösungsvielfalt:
eine, keine, unendlich viele Lösungen

BPE 5

Kongruenz und Ortslinien

25

Die Schülerinnen und Schüler erfahren mathematische Beweisführungen anhand der Geometrie und erlernen, Lösungswege und geometrische Konstruktionen fachsprachlich zu begründen.

BPE 5.1

Die Schülerinnen und Schüler stellen Ortslinien, Höhen im Dreieck und Seitenhalbierende grafisch dar und lösen geometrische Probleme zeichnerisch. Sie ermitteln besondere Punkte im Dreieck mithilfe von Zirkel und Lineal und begründen die Konstruktion. Sie beweisen den Satz des Thales und nutzen ihn zur Prüfung auf Orthogonalität und zur Konstruktion eines rechten Winkels.

Ortslinien
anwendungsbezogene Einführung
  • Mittelsenkrechte
  • Mittelparallele
  • Winkelhalbierende

Höhe im Dreieck

Seitenhalbierende

Besondere Punkte eines Dreiecks

  • Inkreismittelpunkt
  • Umkreismittelpunkt

Thaleskreis

  • Konstruktion
  • Prüfung auf Orthogonalität

BPE 5.2

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Figuren auf Kongruenz. Die Konstruierbarkeit von Dreiecken begründen sie mithilfe der Kongruenzsätze.

Kongruenz
Streckenlängen und Winkelweiten in maßstäblichen Zeichnungen
  • Deckungsgleichheit
  • Vergleich Streckenlängen
  • Vergleich Winkelweiten

Kongruenzsätze bei Dreiecken

  • Konstruierbarkeit
  • Lösungsvielfalt

Klasse 9

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

40

Vertiefung

Individualisiertes Lernen

Projektunterricht

z. B.
Übungen
Anwendungen
Wiederholungen
z. B.
Selbstorganisiertes Lernen
Lernvereinbarungen
Binnendifferenzierung
z. B.
Bau von Instrumenten, wie Jakobsstab, Försterdreieck, Drehkreuz, Winkelspiegel usw. zur Vermessung z. B. des Schulgeländes.
Fotoprojekt: Entdeckung und Modellierung von Parabeln in unserer Umwelt.
Lebenswelt Pythagoras: Tagebucheinträge.
Datenerhebung und Auswertung zu einer aktuellen Wahl.
Besuch einer Mathematikausstellung bzw. Mathematiklabors.
Die Themenauswahl des Projektunterrichts hat aus den nachfolgenden Bildungsplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen.

BPE 6

Ähnlichkeit und Strahlensätze

15

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Figuren und nutzen diese im Rahmen des Problemlösens zur Analyse von Sachzusammenhängen.

BPE 6.1

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen zwei Figuren auf Ähnlichkeit. Sie begründen die Ähnlichkeit von Dreiecken mithilfe der Ähnlichkeitssätze.

Ähnlichkeit
zentrische Streckung
  • Übereinstimmung Winkel
  • Übereinstimmung Streckenverhältnisse

Ähnlichkeit bei Dreiecken

  • Ähnlichkeitssätze

BPE 6.2

Die Schülerinnen und Schüler ermitteln Streckenlängen und Winkelweiten unter Nutzung der Ähnlichkeit von Figuren und der Strahlensätze.

Strahlensätze

  • erster Strahlensatz

  • zweiter Strahlensatz
Nichtumkehrbarkeit des zweiten Strahlensatzes
Streckenlänge
Winkelweite

BPE 7

Reelle Zahlen, Wurzeln und quadratische Gleichungen

20

Ausgehend von geometrischen oder algebraischen Problemen erkennen die Schülerinnen und Schüler die Notwendigkeit einer weiteren Zahlbereichserweiterung. Sie rechnen mit Quadratwurzeln, wählen geeignete Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen und argumentieren mit diesen die Lösbarkeit.

BPE 7.1

Die Schülerinnen und Schüler berechnen Quadratwurzeln exakt oder näherungsweise und vereinfachen Zahlterme, in denen Quadratwurzeln enthalten sind, auch durch teilweises Wurzelziehen; sie stellen Wurzelterme auf. Die Schülerinnen und Schüler berechnen Kubikwurzeln näherungsweise, erläutern die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf reelle Zahlen und nennen Beispiele für irrationale Zahlen.

Quadratwurzeln

  • Quadrieren und Wurzelziehen

  • Abschätzungen
z. B. \(6 <\sqrt {40} < 7\)
  • Näherungsverfahren
z. B. Iterationsverfahren für \(\sqrt{2}\), Intervallteilung
Rechnen mit Quadratwurzeln

  • Aufstellen von Termen
z. B. Seitenlänge eines Quadrats
  • Rechenregeln
z. B. \(\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt {ab} \); \(\sqrt a :\sqrt b = \sqrt {a:b} \)
im Allgemeinen gilt: \(\sqrt a + \sqrt b \ne \sqrt {a + b} \)
  • teilweises Wurzelziehen

Kubikwurzel
z. B. \(\root 3 \of 9 \approx 2,08\)
z. B. Kantenlänge eines Würfels
Reelle Zahlen

  • Irrationale Zahlen
z. B. \(\sqrt 2 ;\,\root 3 \of 9 ;\,\pi \)

BPE 7.2

Die Schülerinnen und Schüler lösen verschiedene quadratische Gleichungen mit unterschiedlichen Verfahren. Ebenfalls untersuchen sie die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von quadratischen Gleichungen.

Gleichungstypen
\(a{x^2} + c = 0\); \(a{x^2} + bx = 0\); \(a{x^2} + bx + c = 0\); \(4{t^2} = 7\); \(0,5{m^2} + 8m = 0\); \( (0,2p + 4)p = 8\)
Rechnerische Lösung
z. B. abc-Formel, Satz von Vieta
  • Äquivalenzumformungen und Wurzelziehen
  • Lösungsformel
  • Ausklammern und Satz vom Nullprodukt

Anzahl der Lösungen

  • Diskriminante

BPE 8

Quadratische Funktionen

30

Die Schülerinnen und Schüler erkennen quadratische Zusammenhänge und wechseln zwischen verschiedenen Darstellungsformen. Mit der quadratischen Funktion lernen sie eine erste Erweiterung des Funktionsbegriffes kennen und behandeln anhand von quadratischen Funktionen inner- und außermathematische Fragestellungen.

BPE 8.1

Die Schülerinnen und Schüler deuten quadratische Zusammenhänge aus Tabellen, Schaubilder oder Texten. Sie stellen diese Zusammenhänge grafisch dar.

Quadratische Zusammenhänge
z. B. Brücke, Ballwurf, Bremsweg, Zahlenrätsel

BPE 8.2

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die Normalparabel und ihre Gleichung. Sie deuten die Wirkung der Parameter auf den Graphen abbildungsgeometrisch als Streckung, Spiegelung, und Verschiebung.

Normalparabel und ihre Gleichung
\(p:y = {x^2}\)
Abbildungen der Normalparabel

  • Verschiebung in x- und y-Richtung
\(p:y = {(x - v)^2} + u\)
  • Streckung in y-Richtung
\(p:y = a{x^2}\)
  • Spiegelung an der x-Achse
\(p:y = - {x^2}\)
  • Streckung und Verschiebung
\(p:y = a{(x - v)^2} + u\)

BPE 8.3

Die Schülerinnen und Schüler geben die Eigenschaften einer Parabel an und skizzieren diese ausgehend von der Lage des Scheitels.

Eigenschaften einer Parabel

  • Symmetrie
  • Scheitel
  • Definitions- und Wertemenge

BPE 8.4

Die Schülerinnen und Schüler erläutern den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Darstellungsformen von Parabeln durch quadratische Gleichungen. Mithilfe einer Wertetabelle zeichnen sie Parabeln und ermitteln grafisch und rechnerisch den Scheitelpunkt und die Achsenschnittpunkte. Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Gleichungen von Parabeln in Scheitel- oder gegebenenfalls Linearfaktorform.

Gleichungstypen

  • Scheitelform
\(p:y = a{(x - {x_s})^2} + {y_s}\)
  • Linearfaktorform
\(p:y = a(x - {x_1})(x - {x_2})\)
  • allgemeine Form
\(p:y = a{x^2} + bx + c\)
Achsenschnittpunkte

Scheitelpunkt
z. B. \({x_s} = - \frac{b}{{2a}}\) oder \({x_s} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}\)

BPE 8.5

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die gegenseitige Lage von Parabeln und Geraden und berechnen gemeinsame Punkte.

Gegenseitige Lage

  • Parabel − Gerade:
    Sekante, Tangente, Passante

  • Parabel − Parabel

  • gemeinsame Punkte

BPE 8.6

Die Schülerinnen und Schüler lösen quadratische Ungleichungen und interpretieren die Lösungen grafisch.

Quadratische Ungleichungen

BPE 8.7

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Zusammenhänge durch quadratische Funktionen. Damit zusammenhängend bestimmen und interpretieren sie die Lösung einfacher Modellierungsaufgaben mithilfe quadratischer Funktionen.

Quadratische Funktion
\(f(x) = a{x^2} + bx + c;\,x \in {\Bbb R}\)
  • Nullstellen
\(f(x) = 0 \)
Einfache Modellierungen
z. B. Extremwertbestimmung, Kosten, Gewinn, Wurfbewegungen, Brücken

BPE 9

Flächeninhalte, Satz des Pythagoras, Kreis

25

Die Schülerinnen und Schüler lernen den Satz des Pythagoras als einen der elementarsten Sätze der Geometrie mit vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten zur Lösung geometrischer Probleme kennen. Sie bestimmen näherungsweise die Kreiszahl π und berechnen Flächeninhalt und Umfang von zusammengesetzten Figuren.

BPE 9.1

Die Schülerinnen und Schüler geben im rechtwinkligen Dreieck die Seiten an. Sie beweisen den Satz des Pythagoras und wenden ihn als algebraisches Hilfsmittel zur Zeichnung, zur Berechnung von Streckenlängen und zur Untersuchung von Orthogonalität in Figuren und Körpern an.

Rechtwinkliges Dreieck

  • Hypotenuse, Katheten

Satz des Pythagoras

  • Streckenlänge

  • Orthogonalität
Umkehrung des Satz von Pythagoras z. B. Zwölfknotenschnur
Anwendung
z. B. Raumdiagonale, Höhe einer Pyramide

BPE 9.2

Die Schülerinnen und Schüler deuten die Zahl π als Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises. Mithilfe anschaulicher Überlegungen unter Einbeziehung eines Näherungsverfahrens erläutern sie, wie die Formel für den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises entstehen. Die Schülerinnen und Schüler berechnen Flächeninhalt und Umfang von Kreisen und Kreisausschnitten.

Kreis

  • Kreiszahl π
z. B. Exhaustionsverfahren von Archimedes
  • Flächeninhalt
z. B. Annäherung durch Flächen von regelmäßigen n-Ecken
  • Umfang

Kreisausschnitt

  • Bogenlänge
  • Flächeninhalt

BPE 9.3

Die Schülerinnen und Schüler berechnen Flächeninhalt und Umfang von zusammengesetzten Figuren.

Zusammengesetzte Figuren

  • Flächeninhalt
  • Umfang
Dreieck, Viereck, Kreis

BPE 10

Statistik

10

Die Schülerinnen und Schüler planen statistische Erhebungen und führen diese systematisch durch. Darüber hinaus stellen sie die Daten grafisch dar, reflektieren und bewerten Argumente basierend auf einer Datenanalyse.

BPE 10.1

Die Schülerinnen und Schüler führen eine Datenerhebung durch, berechnen Häufigkeiten und stellen diese grafisch dar.

Datenerhebung

  • Urliste
  • Merkmal
  • Merkmalsausprägung

Absolute und relative Häufigkeit
z. B. Daten aus vorgegebenen Quellen entnehmen
Diagramme

  • Kreisdiagramm
  • Balken- und Säulendiagramm

BPE 10.2

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Kenngrößen unteres und oberes Quartil und Median. Sie erstellen einen Boxplot und können die Verteilung mithilfe von Boxplots interpretieren.

Quantile

  • Median
  • Oberes und unteres Quartil

Boxplot

BPE 10.3

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen, interpretieren und bewerten Aussagen zur Datenanalyse.

Merkmalstabellen
Kenngrößen
Diagramme
z. B. Aussagen formulieren, Eignung der Darstellungsform, Aussagekraft unterschiedlicher Darstellungen, Irreführung erkennen, Aussagekraft bewerten, Fehlinterpretation

Klasse 10

Vertiefung – Individualisiertes Lernen – Projektunterricht (VIP)

40

Vertiefung

Individualisiertes Lernen

Projektunterricht

z. B.
Übungen
Anwendungen
Wiederholungen
z. B.
Selbstorganisiertes Lernen
Lernvereinbarungen
Binnendifferenzierung
z. B.
Planung und Erstellung von Glücksspielen z. B. Glücksrad, Lostrommel, Galton-Brett, Lotto, Roulette, Black Jack
Erstellung einer Wandzeitung oder eines E-Books zum Thema exponentielles Wachstum, z. B. Ebola-Virus
CO2-Konzentration, Tierpopulationen, Darlehen und Tilgung, Kettenreaktion , Algenvermehrung, Bevölkerungswachstum Teilnahme an Mathematik-Wettbewerben
Die Themenauswahl des Projektunterrichts hat aus den nachfolgenden Bildungsplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen.

BPE 11

Wahrscheinlichkeitsrechnung

15

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen, verstehen Wahrscheinlichkeitsaussagen und kennen den Begriff der Wahrscheinlichkeit.

BPE 11.1

Die Schülerinnen und Schüler beschreiben die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ebenfalls bestimmen sie empirisch Wahrscheinlichkeiten mithilfe relativer Häufigkeiten.

Zufallsexperimente
Zufallserscheinungen im Alltag
Auswertung von Zufallsexperimenten
  • Ergebnis
  • Ereignis
  • Sicheres Ereignis
  • Unmögliches Ereignis
  • Gegenereignis

Gesetz der großen Zahlen
Zusammenhang relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit

BPE 11.2

Die Schülerinnen und Schüler deuten Zufallsexperimente und berechnen die Wahrscheinlichkeiten, insbesondere bei Laplace-Experimenten.

Laplace-Experiment
Durchführung von Zufallsexperimenten, z. B. Würfeln, Karten, Glücksrad, Lose
Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten durch Abzählen der möglichen und günstigen Ergebnisse
Zufallsexperimente

  • einstufig

  • zweistufig
Urnenmodelle, Augensumme zweier Würfel
  • Ziehen mit und ohne Zurücklegen
  • Ziehen mit und ohne Beachtung der Reihenfolge

BPE 11.3

Die Schülerinnen und Schüler zeichnen Baumdiagramme und bestimmen damit Wahrscheinlichkeiten.

Baumdiagramm
auch drei- und mehrstufige Zufallsexperimente
  • Pfadregeln
Produkt- und Summenregel

BPE 11.4

Die Schülerinnen und Schüler berechnen Erwartungswerte in konkreten Situationen.

Erwartungswert in konkreten Situationen
z. B. Gewinnermittlung

BPE 12

Potenzen und Potenzfunktionen

20

Die Schülerinnen und Schüler erweitern ihre Rechenfertigkeit durch die Anwendung der Rechengesetze für Potenzen. Sie lernen die Potenzfunktion als weitere elementare mathematische Funktion kennen.

BPE 12.1

Die Schülerinnen und Schüler deuten Potenzen mit rationalen Exponenten als Wurzel- oder Bruchausdrücke. In dem Zusammenhang geben sie Zahlen in Normdarstellung sowie mit Zehnerpotenzen im Makro- oder Mikrozahlbereich an.

Potenzen mit rationalen Exponenten
z. B. \({a^{ - 1}} = \frac{1}{a}\), \(\root 3 \of {{x^2}} = {x^{\frac{2}{3}}}\)
Normdarstellung
SCI-Format, Präfixe bei Maßeinheiten, z. B. GB, MHz, nm, \( \mu g\)
Zehnerpotenzen

BPE 12.2

Die Schülerinnen und Schüler begründen die Rechengesetze für das Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten und wenden diese an.

Potenzgesetze

BPE 12.3

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen die Eigenschaften von Potenzfunktionen und deren Graphen und wechseln zwischen den verschiedenen Darstellungsformen.

Potenzfunktion

  • \(f(x) = {x^n};\,n \in {\Bbb N}\)

  • \(f(x) = {x^k};\,k \in \{ - 1, - 2\} \)
Definitions- und Wertemenge
  • Schaubilder

BPE 12.4

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Lösungen einfacher Potenzgleichungen, auch im Anwendungszusammenhang.

Potenzgleichungen
z. B. \({x^3} = 27\), \({x^4} = 15\), \(2{x^3} - 16 = 0\), \({x^{ - 2}} = \frac{1}{4}\)
z. B. Radius bei gegebenem Kugelvolumen bestimmen

BPE 13

Darstellung und Berechnung von Körpern

20

Die Schülerinnen und Schüler entwickeln ein räumliches Vorstellungsvermögen und lernen elementare Grundkörper im Raum kennen.

BPE 13.1

Die Schülerinnen und Schüler zeichnen Netze und Schrägbilder von Körpern und wechseln zwischen den Darstellungsformen.

Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel
Bastelvorlagen für Netze und Modelle
  • Schrägbilder
  • Netze

BPE 13.2

Die Schülerinnen und Schüler weisen die Formel zur Berechnung des Mantelflächeninhaltes beim Zylinder und beim Kegel nach und erläutern die Formeln für das Volumen von Pyramide, Kegel und Kugel durch Plausibilitätsbetrachtung.

Mantelflächeninhalt
Abwicklungen, Schnitte, Geodätische Linien
  • Zylinder
  • Kegel

Volumen

  • Pyramide
z. B. Cheops-Pyramide
  • Kegel

  • Kugel
z. B. Atomium in Brüssel

BPE 13.3

Die Schülerinnen und Schüler berechnen Volumen und Oberflächeninhalte von einfachen und zusammengesetzten Körpern.

Raum- und Oberflächeninhalte
Papierfalten, z. B. Pyramidenschachtel, Würfel
  • Prisma
  • Zylinder
  • Pyramide
  • Kegel
  • Kugel
  • Zusammengesetzte Körper

BPE 14

Exponentialfunktionen

25

Die Schülerinnen und Schüler entdecken die Exponentialfunktionen, mit denen bestimmte Wachstums- und Zerfallsvorgänge aus Natur, Technik und Wirtschaft beschrieben werden können. Sie lernen den Logarithmus als Umkehroperation kennen und erweitern damit ihre Rechenfertigkeiten.

BPE 14.1

Die Schülerinnen und Schüler deuten Wachstums- und Zerfallsvorgänge anhand von Tabellen, Schaubilder oder Texten als lineares oder exponentielles Wachstum.

Lineares Wachstum
z. B. Abbrennen einer Kerze, Abschreibung für Anlagegüter (AfA), Kosten, Pflanzenwachstum
Exponentielles Wachstum
z. B. Kettenbriefe, Seerosen, Wertverlust

BPE 14.2

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Exponentialfunktionen, beschreiben die charakteristischen Eigenschaften und skizzieren deren Schaubilder.

Exponentialfunktion
z. B. \(f(x) = {2^x},\,f(x) = {1,25^x},\,f(x) = {0,7^x}\)
  • \(f(x) = {a^x};\,x \in {\Bbb R};\,a \in {\Bbb R}_ + ^*\backslash \{ 1\} \)
  • Schaubild
  • Gemeinsamer Schnittpunkt auf der y-Achse
  • Asymptote
  • Globaler Verlauf

BPE 14.3

Die Schülerinnen und Schüler deuten die Wirkung von Parametern in Funktionstermen von Exponentialfunktionen auf deren Graphen. Sie skizzieren die zugehörigen Schaubilder unter Verwendung der charakteristischen Eigenschaften.

Streckung in y-Richtung
Verschiebung in y-Richtung
\(f(x) = c \cdot {a^x} + d\)

BPE 14.4

Die Schülerinnen und Schüler interpretieren den Logarithmus einer Zahl als Lösung einer Exponentialgleichung und ermitteln die Lösungen einfacher Exponentialgleichungen.

Logarithmus

  • \({\log _a}(b) \) für \( a \in {\Bbb R}_ + ^*\backslash \{ 1\} \)
  • \({\log _a}(b)\, = x \Leftrightarrow {a^x} = b\)

Einfache Exponentialgleichungen
z. B. \(3 \cdot {2^x} - 4 = 20\)

BPE 14.5

Die Schülerinnen und Schüler berechnen Lösungen bei Anwendungsaufgaben zu Exponentialfunktionen.

Wachstums- und Zerfallsvorgänge
radioaktiver Zerfall, Halbwertszeit, Bevölkerungsentwicklung, Bakterienkultur
Zinsrechnung

  • Zinseszins
  • Berechnung aller Größen bei \({K_n} = {K_0} \cdot {q^n}\)

BPE 15

Trigonometrie

20

Die Schülerinnen und Schüler wenden bei Berechnungen in ebenen und räumlichen Figuren trigonometrische Kenntnisse an. Sie lernen die Sinusfunktion zur Darstellung periodischer Vorgänge als eine weitere elementare mathematische Funktion kennen.

BPE 15.1

Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Streckenlängen und Winkelweiten unter Nutzung der Längenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tangens in rechtwinkligen Dreiecken. Darüber hinaus wenden sie die trigonometrischen Kenntnisse in ebenen und räumlichen Figuren und in Anwendungsbezügen an.

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

Streckenlängen und Winkelgrößen
Steigungswinkel einer Geraden: \(m = \tan (\alpha )\)
Anwendungsaufgaben

  • in der Ebene
z. B. Steigung einer Straße
  • im Raum
z. B. Höhe eines Berges, Landeflug

BPE 15.2

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen periodische Vorgänge anhand der Sinusfunktion, skizzieren und interpretieren diese.

Sinusfunktion
Erweiterung des Sinus im Einheitskreis
  • \(f(\alpha ) = \sin (\alpha )\) mit \(0^\circ \leqslant \alpha \leqslant 360^\circ \)

  • \(f(\alpha ) = \sin (\alpha ) + b\) mit \(0^\circ \leqslant \alpha \leqslant 360^\circ \)
z. B. Sonnenstand, Pendel, Gezeiten, evtl. mit Veränderung der Skalierung der ‑Achse
  • Schaubild

Operatorenliste

In den Zielformulierungen der Bildungsplaneinheiten werden Operatoren (= handlungsleitende Verben) verwendet. Diese Zielformulierungen (Standards) legen fest, welche Anforderungen die Schülerinnen und Schüler in der Regel erfüllen. Zusammen mit der Zuordnung zu einem der drei Anforderungsbereiche (AFB) dienen Operatoren einer Präzisierung. Dies sichert das Erreichen des vorgesehenen Niveaus und die angemessene Interpretation der Standards.

Anforderungsbereiche
Anforderungsbereich I umfasst das Wiedergeben von Sachverhalten im gelernten Zusammenhang unter rein reproduktivem Benutzen eingeübter Arbeitstechniken (Reproduktion).
Anforderungsbereich II umfasst das selbstständige Erklären, Bearbeiten und Ordnen bekannter Inhalte und das angemessene Anwenden gelernter Inhalte und Methoden auf andere Sachverhalte (Reorganisation und Transfer).
Anforderungsbereich III umfasst den reflexiven Umgang mit neuen Problemstellungen, den eingesetzten Methoden und gewonnenen Erkenntnissen, um zu eigenständigen Begründungen, Folgerungen, Deutungen und Wertungen zu gelangen (Reflexion und Problemlösung).
Operator Erläuterung Zuordnung
AFB
angeben, nennen
für die Angabe bzw. Nennung ist keine Begründung notwendig
I
begründen, nachweisen, zeigen
Aussagen oder Sachverhalte sind durch logisches Schließen zu bestätigen. Die Art des Vorgehens kann – sofern nicht durch einen Zusatz anders angegeben – frei gewählt werden (z. B. Anwenden rechnerischer oder grafischer Verfahren), das Vorgehen ist darzustellen
II, III
berechnen
die Berechnung ist ausgehend von einem Ansatz darzustellen
I, II, III
beschreiben
bei einer Beschreibung kommt einer sprachlich angemessenen Formulierung und ggf. einer korrekten Verwendung der Fachsprache besondere Bedeutung zu, eine Begründung für die Beschreibung ist nicht notwendig
II, III
bestimmen, ermitteln
die Art des Vorgehens kann – sofern nicht durch einen Zusatz anders angegeben – frei gewählt werden (z. B. Anwenden rechnerischer oder grafischer Verfahren), das Vorgehen ist darzustellen
I, II, III
beurteilen
das zu fällende Urteil ist zu begründen
II, III
deuten, interpretieren
die Deutung bzw. Interpretation stellt einen Zusammenhang her z. B. zwischen einer grafischen Darstellung, einem Term oder dem Ergebnis einer Rechnung und einem vorgegebenen Sachzusammenhang
II, III
erläutern
die Erläuterung liefert Informationen, mithilfe derer sich z. B. das Zustandekommen einer grafischen Darstellung oder ein mathematisches Vorgehen nachvollziehen lassen
II, III
entscheiden
für die Entscheidung ist keine Begründung notwendig
I, II
grafisch darstellen, zeichnen
die grafische Darstellung bzw. Zeichnung ist möglichst genau anzufertigen
I
skizzieren
die Skizze ist so anzufertigen, dass sie das im betrachteten Zusammenhang Wesentliche grafisch beschreibt
I, II, III
untersuchen
die Art des Vorgehens kann – sofern nicht durch einen Zusatz anders angegeben – frei gewählt werden (z. B. Anwenden rechnerischer oder grafischer Verfahren), das Vorgehen ist darzustellen
II, III

Fußleiste