3.1.4 Taylorentwicklung  |
3.1.4 Taylorentwicklung
Bei der computergestützten Lösung mathematischer Probleme ist die Technik der Taylorentwicklung von herausragender Bedeutung.
Ausgehend von der linearen Approximation erfahren die Schülerinnen und Schüler, wie die Güte der Näherung gesteigert
werden kann.
Die Schülerinnen und Schüler können
(1)
für Funktionen an einer beliebigen Stelle die lineare Approximation bestimmen
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(2)
die Verbesserung der Approximation mit Taylorpolynomen höheren Grades erklären
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BP2016BW_ALLG_GMSO_DMW_IK_12-13_02_00_04
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(3)
das Konstruktionsprinzip der Taylorpolynome n-ten Grades an der Entwicklungsstelle \(x=0\) erläutern und
durchführen
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BP2016BW_ALLG_GYM_M_IK_9-10_01_00, BP2016BW_ALLG_GMSO_DMW_PK_01_08
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(4)
die Entwicklung der Taylorpolynome um \(x=a;\; a \in \mathbb{R} \) als Verschiebung deuten
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(5)
die Taylorentwicklung auf verschiedene bekannte Funktionen (zum Beispiel ganzrationale Funktionen sowie \(f(x)=e^{x}\), \(
f(x)=sin(x) \) unter Verwendung des Begriffs der Taylorreihe) anwenden
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(6)
anhand eines Beispiels die Divergenz einer Taylorreihe begründen (zum Beispiel \(f(x)=e^{‑\frac{1}{x}}\) für \( x \gt
0\) und \(f(x)=0 \) für \(x \leq 0\) mit Entwicklungsstelle \(x=0\) )
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