Kultusministerium Zentrum für Schulqualität und Lehrerbildung
Mathematik
Leitgedanken zum Kompetenzerwerb
Prozessbezogene Kompetenzen zurücksetzen
  • 2.1 Argumentieren und Beweisen
    • 2.1 Argumentieren und Beweisen
    • in mathematischen Zusammenhängen Vermutungen entwickeln und als mathematische Aussage formulieren
    • eine Vermutung anhand von Beispielen auf ihre Plausibilität prüfen oder anhand eines Gegenbeispiels widerlegen
    • bei der Entwicklung und Prüfung von Vermutungen Hilfsmittel verwenden (zum Beispiel Taschenrechner, Computerprogramme)
    • in einer mathematischen Aussage zwischen Voraussetzung und Behauptung unterscheiden
    • eine mathematische Aussage in einer standardisierten Form (zum Beispiel Wenn-Dann) formulieren
    • zu einem Satz die Umkehrung bilden
    • zwischen Satz und Kehrsatz unterscheiden und den Unterschied an Beispielen erklären
    • mathematische Verfahren und ihre Vorgehensweisen erläutern und begründen
    • beim Erläutern und Begründen unterschiedliche Darstellungsformen verwenden (verbal, zeichnerisch, tabellarisch, formalisiert)
    • Beweise nachvollziehen und wiedergeben
    • bei mathematischen Beweisen die Argumentation auf die zugrunde liegende Begründungsbasis zurückführen
    • ausgehend von einer Begründungsbasis durch zulässige Schlussfolgerungen eine mehrschrittige Argumentationskette aufbauen
    • Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen und Beweise führen
    • Beziehungen zwischen mathematischen Sätzen aufzeigen
  • 2.2 Probleme lösen
    • 2.2 Probleme lösen
    • das Problem mit eigenen Worten beschreiben
    • Informationen aus den gegebenen Texten, Bildern und Diagrammen entnehmen und auf ihre Bedeutung für die Problemlösung bewerten
    • durch Verwendung verschiedener Darstellungen (informative Figur, verbale Beschreibung, Tabelle, Graph, symbolische Darstellung, Koordinaten) das Problem durchdringen oder umformulieren
    • Hilfsmittel und Informationsquellen (zum Beispiel Formelsammlung, Taschenrechner, Computerprogramme, Internet) nutzen
    • durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermutungen kommen und diese auf Plausibilität überprüfen
    • das Problem durch Zerlegen in Teilprobleme oder das Einführen von Hilfsgrößen oder Hilfslinien vereinfachen
    • mit formalen Rechenstrategien (unter anderem Äquivalenzumformung von Gleichungen und Prinzip der Substitution) Probleme auf algebraischer Ebene bearbeiten
    • das Aufdecken von Regelmäßigkeiten oder mathematischen Mustern für die Problemlösung nutzen
    • durch Vorwärts- oder Rückwärtsarbeiten Lösungsschritte finden
    • Sonderfälle oder Verallgemeinerungen untersuchen
    • das Problem auf Bekanntes zurückführen oder Analogien herstellen
    • Zusammenhänge zwischen unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik zum Lösen nutzen
    • Ergebnisse, auch Zwischenergebnisse, auf Plausibilität oder an Beispielen prüfen
    • kritisch prüfen, inwieweit eine Problemlösung erreicht wurde
    • Fehler analysieren und konstruktiv nutzen
    • Lösungswege vergleichen
  • 2.3 Modellieren
    • 2.3 Modellieren
    • wesentliche Informationen entnehmen und strukturieren
    • ergänzende Informationen beschaffen und dazu Informationsquellen nutzen
    • Situationen vereinfachen
    • relevante Größen und ihre Beziehungen identifizieren
    • die Beziehungen zwischen diesen Größen mithilfe von Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Figuren, Diagrammen, Tabellen oder Zufallsversuchen beschreiben
    • Grundvorstellungen zu mathematischen Operationen nutzen und die Eignung mathematischer Verfahren einschätzen
    • zu einer Situation passende mathematische Modelle (zum Beispiel arithmetische Operationen, geometrische Modelle, Terme und Gleichungen, stochastische Modelle) auswählen oder konstruieren
    • Hilfsmittel verwenden
    • rechnen, mathematische Algorithmen oder Konstruktionen ausführen
    • die Ergebnisse aus einer mathematischen Modellierung in die Realität übersetzen
    • die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung in der jeweiligen Realsituation überprüfen
    • die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung bewerten und gegebenenfalls Überlegungen zur Verbesserung der Modellierung anstellen
  • 2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
    • 2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
    • zwischen natürlicher Sprache und symbolisch-formaler Sprache der Mathematik wechseln
    • mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen, zum Modellieren und zum Problemlösen auswählen und verwenden
    • zwischen verschiedenen mathematischen Darstellungen wechseln
    • Berechnungen ausführen
    • Routineverfahren anwenden und miteinander kombinieren
    • Algorithmen reflektiert anwenden
    • Ergebnisse und die Eignung des Verfahrens kritisch prüfen
    • Hilfsmittel (zum Beispiel Formelsammlung, Geodreieck und Zirkel, Taschenrechner, Software) problemangemessen auswählen und einsetzen
    • Taschenrechner und mathematische Software (Tabellenkalkulation, Dynamische Geometriesoftware) bedienen und zum Explorieren, Problemlösen und Modellieren einsetzen
    • Ergebnisse, die unter Verwendung eines Taschenrechners oder Computers gewonnen wurden, kritisch prüfen
  • 2.5 Kommunizieren
    • 2.5 Kommunizieren
    • mathematische Einsichten und Lösungswege schriftlich dokumentieren oder mündlich darstellen und erläutern
    • ihre Ergebnisse strukturiert präsentieren
    • eigene Überlegungen in kurzen Beiträgen sowie selbstständige Problembearbeitungen in Vorträgen verständlich darstellen
    • bei der Darstellung ihrer Ausführungen geeignete Medien einsetzen
    • vorläufige Formulierungen zu fachsprachlichen Formulierungen weiterentwickeln
    • ihre Ausführungen mit geeigneten Fachbegriffen darlegen
    • aus Quellen (Texten, Bildern und Tabellen) und aus Äußerungen anderer mathematische Informationen entnehmen
    • Äußerungen und Informationen analysieren und beurteilen

Operatoren

Anhänge zu Fachplänen

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3.1.2 Leit­idee Mes­sen

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­fah­ren die Grund­idee des Mes­sens – Aus­fül­len mit Ein­hei­ten und Ab­zäh­len – und wen­den die­se selbst­stän­dig an. Si­tua­ti­ons­ge­recht wäh­len sie Ein­hei­ten für Grö­ßen aus und ge­hen da­mit um. Sie schät­zen Grö­ßen mit­hil­fe ge­eig­ne­ter Re­prä­sen­tan­ten ab. Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler über­tra­gen das Grund­prin­zip des Mes­sens auf die Be­stim­mung von Flä­chen- und Raum­in­hal­ten. Bei ebe­nen Fi­gu­ren, auch bei zu­sam­men­ge­setz­ten Fi­gu­ren, be­stim­men sie Um­fang und Flä­chen­in­halt, bei Qua­dern und bei aus Qua­dern zu­sam­men­ge­setz­ten Kör­pern Vo­lu­men und Ober­flä­chen­in­halt.

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler kön­nen

Mit Grö­ßen um­ge­hen
(1)

Mess­vor­gän­ge und die Ver­wen­dung von Ein­hei­ten er­läu­tern
(2)

in ih­rem Um­feld Län­gen, Flä­chen­in­hal­te, Vo­lu­mi­na, Mas­sen, Zeit­span­nen mes­sen
(3)

Grö­ßen­an­ga­ben durch Maß­zahl und Ein­heit dar­stel­len
(4)

die Be­deu­tung gän­gi­ger Vor­sil­ben wie zum Bei­spiel mil­li, cen­ti, de­zi, ki­lo, Me­ga er­klä­ren
(5)

Ein­hei­ten für Mas­se, Zeit (-span­ne), Geld, Län­ge, Flä­chen­in­halt und Vo­lu­men ver­wen­den und um­wan­deln
(6)

all­tags­be­zo­ge­ne Re­prä­sen­tan­ten als Schätz­hil­fe für Grö­ßen­an­ga­ben ver­wen­den
(7)

Win­kel­wei­ten mes­sen und schät­zen
(8)

mit Grö­ßen­an­ga­ben rech­nen und da­bei Ein­hei­ten kor­rekt an­wen­den
BO_01

Bei Fi­gu­ren und Kör­pern Grö­ßen be­rech­nen
(9)

den Um­fang von Recht­eck, Qua­drat, Drei­eck, Tra­pez, Par­al­le­lo­gramm und Kreis so­wie den Um­fang zu­sam­men­ge­setz­ter Fi­gu­ren be­stim­men
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_5-6_04_00_06
(10)

die Zahl \(\pi\) als Verhältnis von Um­fang und Durch­mes­ser ei­nes Krei­ses er­klä­ren
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_5-6_04_00_06
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_5-6_04_00_05
(11)

die For­mel für den Flä­chen­in­halt ei­nes Recht­ecks mit dem Grund­prin­zip des Mes­sens er­klä­ren
(12)

die For­meln für den Flä­chen­in­halt ei­nes Par­al­le­lo­gramms und ei­nes Drei­ecks geo­me­trisch er­klä­ren und die For­mel für den Flä­chen­in­halt ei­nes Krei­ses durch ein­fa­che an­schau­li­che Über­le­gun­gen er­läu­tern
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_01_08
(13)

den Flä­chen­in­halt von Qua­drat, Recht­eck, Par­al­le­lo­gramm, Tra­pez, Drei­eck und Kreis be­rech­nen und den Flä­chen­in­halt von dar­aus zu­sam­men­ge­setz­ten Fi­gu­ren be­stim­men
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_02_06
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_5-6_04_00_06
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_02_03
(14)

die For­mel für das Vo­lu­men ei­nes Qua­ders mit dem Grund­prin­zip des Mes­sens er­klä­ren
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_01_08
(15)

den Ober­flä­chen­in­halt und das Vo­lu­men von Wür­feln und Qua­dern und dar­aus zu­sam­men­ge­setz­ten Kör­pern be­stim­men
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_02_06
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_5-6_04_00_06
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_02_03
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Umsetzungshilfen
Hinweis
Die Beispielcurricula, Synopsen und Kompetenzraster sind bei den inhaltsbezogenen Kompetenzen des jeweiligen Faches zu finden.