Kultusministerium Zentrum für Schulqualität und Lehrerbildung
Mathematik (V2)
Hinweis zum Bildungsplan der Oberstufe an Gemeinschaftsschulen
Prozessbezogene Kompetenzen zurücksetzen
  • 2.1 Mathematisch argumentieren und beweisen
    • 2.1 Mathematisch argumentieren und beweisen
    • in mathematischen Zusammenhängen Vermutungen entwickeln und als mathematische Aussage formulieren
    • eine Vermutung anhand von Beispielen auf ihre Plausibilität prüfen oder anhand eines Gegenbeispiels widerlegen
    • in einer mathematischen Aussage zwischen Voraussetzung und Behauptung unterscheiden
    • eine mathematische Aussage in einer standardisierten Form (zum Beispiel Wenn-Dann) formulieren
    • zu einem Satz die Umkehrung bilden
    • zwischen Satz und Kehrsatz unterscheiden und den Unterschied an Beispielen erklären
    • mathematische Verfahren und ihre Vorgehensweisen erläutern und begründen
    • beim Erläutern und Begründen unterschiedliche Darstellungsformen verwenden (verbal, zeichnerisch, tabellarisch, formalisiert)
    • Beweise nachvollziehen und wiedergeben
    • bei mathematischen Beweisen die Argumentation auf die zugrunde liegende Begründungsbasis zurückführen
    • ausgehend von einer Begründungsbasis durch zulässige Schlussfolgerungen eine mehrschrittige Argumentationskette aufbauen
    • Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen und Beweise führen
    • Beziehungen zwischen mathematischen Sätzen aufzeigen
  • 2.2 Probleme mathematisch lösen
    • 2.2 Probleme mathematisch lösen
    • das Problem mit eigenen Worten beschreiben
    • Informationen aus den gegebenen Texten, Bildern und Diagrammen entnehmen und auf ihre Bedeutung für die Problemlösung bewerten
    • durch Verwendung verschiedener Darstellungen (informative Skizze, verbale Beschreibung, Tabelle, Graph, symbolische Darstellung, Koordinaten) das Problem durchdringen oder umformulieren
    • durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermutungen kommen und diese auf Plausibilität überprüfen
    • das Problem durch Zerlegen in Teilprobleme oder das Einführen von Hilfsgrößen oder Hilfslinien vereinfachen
    • das Aufdecken von Regelmäßigkeiten oder mathematischen Mustern für die Problemlösung nutzen
    • durch Vorwärts- oder Rückwärtsarbeiten Lösungsschritte finden
    • Sonderfälle oder Verallgemeinerungen untersuchen
    • das Problem auf Bekanntes zurückführen oder Analogien herstellen
    • Zusammenhänge zwischen unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik zum Lösen nutzen
    • Ergebnisse, auch Zwischenergebnisse, auf Plausibilität oder an Beispielen prüfen
    • kritisch prüfen, inwieweit eine Problemlösung erreicht wurde
    • Lösungswege vergleichen und beurteilen
  • 2.3 Mathematisch modellieren
    • 2.3 Mathematisch modellieren
    • wesentliche Informationen entnehmen und strukturieren
    • ergänzende Informationen beschaffen und dazu Informationsquellen nutzen
    • Situationen vereinfachen
    • relevante Größen und ihre Beziehungen identifizieren
    • die Beziehungen zwischen diesen Größen mithilfe von Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Figuren, Diagrammen, Tabellen oder Zufallsversuchen beschreiben
    • Grundvorstellungen zu mathematischen Operationen nutzen und die Eignung mathematischer Verfahren einschätzen
    • zu einer Situation passende mathematische Modelle (zum Beispiel arithmetische Operationen, geometrische Modelle, Terme und Gleichungen, stochastische Modelle) auswählen oder konstruieren
    • geeignete Hilfsmittel auswählen und verwenden
    • rechnen, mathematische Algorithmen oder Konstruktionen ausführen
    • einem mathematischen Modell eine passende Situation zuordnen
    • die Ergebnisse aus einer mathematischen Modellierung in die Realität übersetzen
    • die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung in der jeweiligen Realsituation überprüfen
    • die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung bewerten und gegebenenfalls Überlegungen zur Verbesserung der Modellierung anstellen
  • 2.4 Mit mathematischen Darstellungen umgehen
    • 2.4 Mit mathematischen Darstellungen umgehen
    • aus Darstellungen relevante Informationen entnehmen 
    • zwischen natürlicher Sprache und symbolisch-formaler Sprache der Mathematik wechseln
    • unterschiedliche mathematische Darstellungsformen verwenden und vernetzen (verbal, grafisch, tabellarisch, symbolisch)
    • eine zur Problemstellung passende Darstellung auswählen
    • zwischen verschiedenen mathematischen Darstellungen wechseln
    • Zusammenhänge zwischen verschiedenen Darstellungen erklären
    • gegebene Darstellungen kritisch prüfen und ihre Aussagekraft beurteilen
    • missverständliche Darstellungen erkennen und mögliche Fehlinterpretationen benennen
    • geeignete mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen und Dokumentieren von Ergebnissen erzeugen
    • eigene Darstellungen passend zur Problemstellung entwickeln
  • 2.5 Mit mathematischen Objekten umgehen
    • 2.5 Mit mathematischen Objekten umgehen
    • mathematische Objekte (zum Beispiel Zahlen, Größen, Strecken, Terme, Gleichungen, Funktionen) verstehen und ihre Bedeutung und innere Struktur beschreiben
    • mit mathematischen Objekten sicher und flexibel umgehen
    • Berechnungen ausführen
    • Routineverfahren anwenden und miteinander kombinieren
    • zu einer Problemstellung geeignete Lösungsverfahren und Algorithmen auswählen und reflektiert anwenden 
    • Ergebnisse kritisch prüfen
    • die Struktur von Verfahren beschreiben und deren Schritte begründen
    • Verfahren bewerten und sie sachangemessen auf neue Situationen übertragen 
  • 2.6 Mathematisch kommunizieren
    • 2.6 Mathematisch kommunizieren
    • mathematische Einsichten und Lösungswege schriftlich dokumentieren oder mündlich darstellen und erläutern
    • ihre Ergebnisse strukturiert präsentieren
    • eigene Überlegungen in kurzen Beiträgen sowie selbstständige Problembearbeitungen in Vorträgen verständlich darstellen
    • vorläufige Formulierungen zu fachsprachlichen Formulierungen weiterentwickeln
    • ihre Ausführungen mit geeigneten Fachbegriffen darlegen
    • aus Quellen (Texten, Bildern und Tabellen) und aus Äußerungen anderer mathematische Informationen entnehmen
    • Äußerungen und Informationen sachgerecht analysieren, reflektieren, beurteilen und gegebenenfalls weiterführen (unter anderem konstruktiv mit Fehlern umgehen)
  • 2.7 Mit Medien mathematisch arbeiten
    • 2.7 Mit Medien mathematisch arbeiten
    • Hilfsmittel (zum Beispiel Formelsammlung, Geodreieck und Zirkel, Taschenrechner, Software) problemangemessen auswählen und einsetzen 
    • analoge und digitale Informationsquellen und Anschauungsmaterialien nutzen
    • Taschenrechner und weitere digitale Mathematikwerkzeuge (zum Beispiel Tabellenkalkulation, dynamische Mathematiksoftware) bedienen und zum Explorieren, Durchführen von Algorithmen, Problemlösen, Modellieren, Simulieren oder Verarbeiten von Daten einsetzen
    • Lernumgebungen zum selbstgesteuerten Lernen und Anwenden von Mathematik nutzen
    • Ergebnisse, die unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge gewonnen wurden, kritisch prüfen und ihre Passung zum Ausgangsproblem beurteilen
    • Informationsquellen und deren dargebotene Inhalte kritisch prüfen
    • mithilfe digitaler Medien zu mathematischen Themen eigene Produkte (zum Beispiel bildliche Darstellungen, Animationen, Videos) anfertigen
    • bei der Entwicklung und Prüfung von Vermutungen Hilfsmittel verwenden
    • bei der Darstellung eigener Überlegungen geeignete Medien einsetzen

Operatoren

Anhänge zu Fachplänen

Download als PDF

3.3.3 Leit­idee Raum und Form

Im Zu­sam­men­hang mit Be­rech­nun­gen an Kör­pern ar­bei­ten die Schü­le­rin­nen und Schü­ler mit Schräg­bil­dern und Net­zen. Sie nut­zen nun ne­ben be­kann­ten Sät­zen auch die Ähn­lich­keit ebe­ner Fi­gu­ren zur Be­grün­dung geo­me­tri­scher Zu­sam­men­hän­ge und tri­go­no­me­tri­scher Be­zie­hun­gen so­wie für Be­rech­nun­gen in ebe­nen und räum­li­chen Ob­jek­ten. In geo­me­tri­schen Zu­sam­men­hän­gen set­zen sie sich er­neut mit der Um­keh­rung von Sät­zen aus­ein­an­der.
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­fah­ren am Bei­spiel von Ge­ra­den im Raum, dass vek­t­o­ri­el­le Dar­stel­lun­gen da­zu ge­eig­net sind, räum­li­che Fra­ge­stel­lun­gen und An­wen­dungs­pro­ble­me zu be­ar­bei­ten. Die un­ter­stri­che­nen Teil­kom­pe­ten­zen sind erst in Klas­se 10 zu un­ter­rich­ten.

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler kön­nen

Kör­per zeich­ne­risch dar­stel­len
(1)

Schräg­bil­der und Net­ze (von Pris­men, Py­ra­mi­den, Zy­lin­dern und Ke­geln) skiz­zie­ren und die Dar­stel­lungs­for­men in­ein­an­der über­füh­ren
BP2016B­W_ALL­G_GYM_BK
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_07_01
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_07_03
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_04_06
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_04_05

geo­me­tri­sche Zu­sam­men­hän­ge be­wei­sen und mit tri­go­no­me­tri­schen Be­zie­hun­gen ar­bei­ten
(2)

zwei ge­ge­be­ne Fi­gu­ren mit­hil­fe der je­wei­li­gen De­fi­ni­ti­on auf Ähn­lich­keit und Kon­gru­enz un­ter­su­chen
(3)

Drei­ecke mit­hil­fe aus­ge­wähl­ter Ähn­lich­keit­sät­ze (Über­ein­stim­mung in den Län­gen­ver­hält­nis­sen al­ler Sei­ten, Über­ein­stim­mung in zwei Win­kel­wei­ten) auf Ähn­lich­keit über­prü­fen
(4)

un­ter Nut­zung des Sat­zes des Py­tha­go­ras Län­gen von Stre­cken (Hy­po­te­nu­se, Ka­the­ten) be­rech­nen be­zie­hungs­wei­se mit­hil­fe sei­nes Kehr­sat­zes auf Or­tho­go­na­li­tät schlie­ßen
BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_07_01
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_02_03
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_01_07
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_01_05
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_01_06
(5)

geo­me­tri­sche Zu­sam­men­hän­ge un­ter Ver­wen­dung be­reits be­kann­ter Sät­ze so­wie mit­hil­fe von Ähn­lich­keits­be­zie­hun­gen und Kon­gru­enz­sät­zen er­schlie­ßen, be­grün­den und be­wei­sen, und Grö­ßen be­rech­nen
BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_01_09
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_07_01
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_05_04
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_02_05
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_02_04
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_02_03
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_01_07
(6)

Stre­cken­län­gen und Win­kel­wei­ten un­ter Nut­zung der Län­gen­ver­hält­nis­se Si­nus, Ko­si­nus, Tan­gens be­stim­men
BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_01_09
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_02_11
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_07_01
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_02_02
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_01_10
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_02_05
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_02_01
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_02_03
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_02_07
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_06_03
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_01_02
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_06_02
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_01_01
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_06_01
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_03_04
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_06_04
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_03_01
(7)

die Beziehungen \(sin^{ 2 }(\alpha)+cos^{ 2 }(\alpha)=1\),
\(sin(90^\circ-\alpha)=cos(\alpha)\), \(tan(\alpha)=\frac{ sin(\alpha) }{ cos(\alpha)}\) herleiten
BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_01_08

mit geo­me­tri­schen Ob­jek­ten in kar­te­si­schen Ko­or­di­na­ten­sys­te­men um­ge­hen
(8)

Vek­to­ren in Tu­pel­dar­stel­lung ent­spre­chend ih­rer Ver­wen­dung geo­me­trisch als Punkt oder Ver­schie­bung in­ter­pre­tie­ren
(9)

Punk­te in das Schräg­bild ei­nes drei­di­men­sio­na­len kar­te­si­schen Ko­or­di­na­ten­sys­tems ein­tra­gen
(10)

den Mit­tel­punkt ei­ner Stre­cke be­rech­nen
(11)

Vek­to­ren auf Kol­li­nea­ri­tät un­ter­su­chen
(12)

Ge­ra­den und Stre­cken vek­t­o­ri­ell mit­hil­fe von Pa­ra­me­ter­glei­chun­gen be­schrei­ben
(13)

die La­ge­be­zie­hung von Ge­ra­den un­ter­su­chen und ge­ge­be­nen­falls den Schnitt­punkt be­stim­men
(14)

Ge­ra­den mit­hil­fe von Spur­punk­ten im Schräg­bild ei­nes drei­di­men­sio­na­len kar­te­si­schen Ko­or­di­na­ten­sys­tems ver­an­schau­li­chen
Download als PDF
Umsetzungshilfen
Hinweis
Die Beispielcurricula, Synopsen und Kompetenzraster sind bei den inhaltsbezogenen Kompetenzen des jeweiligen Faches zu finden.