Kultusministerium Zentrum für Schulqualität und Lehrerbildung
Mathematik (V2)
Hinweis zum Bildungsplan der Oberstufe an Gemeinschaftsschulen
Prozessbezogene Kompetenzen zurücksetzen
  • 2.1 Mathematisch argumentieren und beweisen
    • 2.1 Mathematisch argumentieren und beweisen
    • in mathematischen Zusammenhängen Vermutungen entwickeln und als mathematische Aussage formulieren
    • eine Vermutung anhand von Beispielen auf ihre Plausibilität prüfen oder anhand eines Gegenbeispiels widerlegen
    • in einer mathematischen Aussage zwischen Voraussetzung und Behauptung unterscheiden
    • eine mathematische Aussage in einer standardisierten Form (zum Beispiel Wenn-Dann) formulieren
    • zu einem Satz die Umkehrung bilden
    • zwischen Satz und Kehrsatz unterscheiden und den Unterschied an Beispielen erklären
    • mathematische Verfahren und ihre Vorgehensweisen erläutern und begründen
    • beim Erläutern und Begründen unterschiedliche Darstellungsformen verwenden (verbal, zeichnerisch, tabellarisch, formalisiert)
    • Beweise nachvollziehen und wiedergeben
    • bei mathematischen Beweisen die Argumentation auf die zugrunde liegende Begründungsbasis zurückführen
    • ausgehend von einer Begründungsbasis durch zulässige Schlussfolgerungen eine mehrschrittige Argumentationskette aufbauen
    • Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen und Beweise führen
    • Beziehungen zwischen mathematischen Sätzen aufzeigen
  • 2.2 Probleme mathematisch lösen
    • 2.2 Probleme mathematisch lösen
    • das Problem mit eigenen Worten beschreiben
    • Informationen aus den gegebenen Texten, Bildern und Diagrammen entnehmen und auf ihre Bedeutung für die Problemlösung bewerten
    • durch Verwendung verschiedener Darstellungen (informative Skizze, verbale Beschreibung, Tabelle, Graph, symbolische Darstellung, Koordinaten) das Problem durchdringen oder umformulieren
    • durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermutungen kommen und diese auf Plausibilität überprüfen
    • das Problem durch Zerlegen in Teilprobleme oder das Einführen von Hilfsgrößen oder Hilfslinien vereinfachen
    • das Aufdecken von Regelmäßigkeiten oder mathematischen Mustern für die Problemlösung nutzen
    • durch Vorwärts- oder Rückwärtsarbeiten Lösungsschritte finden
    • Sonderfälle oder Verallgemeinerungen untersuchen
    • das Problem auf Bekanntes zurückführen oder Analogien herstellen
    • Zusammenhänge zwischen unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik zum Lösen nutzen
    • Ergebnisse, auch Zwischenergebnisse, auf Plausibilität oder an Beispielen prüfen
    • kritisch prüfen, inwieweit eine Problemlösung erreicht wurde
    • Lösungswege vergleichen und beurteilen
  • 2.3 Mathematisch modellieren
    • 2.3 Mathematisch modellieren
    • wesentliche Informationen entnehmen und strukturieren
    • ergänzende Informationen beschaffen und dazu Informationsquellen nutzen
    • Situationen vereinfachen
    • relevante Größen und ihre Beziehungen identifizieren
    • die Beziehungen zwischen diesen Größen mithilfe von Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Figuren, Diagrammen, Tabellen oder Zufallsversuchen beschreiben
    • Grundvorstellungen zu mathematischen Operationen nutzen und die Eignung mathematischer Verfahren einschätzen
    • zu einer Situation passende mathematische Modelle (zum Beispiel arithmetische Operationen, geometrische Modelle, Terme und Gleichungen, stochastische Modelle) auswählen oder konstruieren
    • geeignete Hilfsmittel auswählen und verwenden
    • rechnen, mathematische Algorithmen oder Konstruktionen ausführen
    • einem mathematischen Modell eine passende Situation zuordnen
    • die Ergebnisse aus einer mathematischen Modellierung in die Realität übersetzen
    • die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung in der jeweiligen Realsituation überprüfen
    • die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung bewerten und gegebenenfalls Überlegungen zur Verbesserung der Modellierung anstellen
  • 2.4 Mit mathematischen Darstellungen umgehen
    • 2.4 Mit mathematischen Darstellungen umgehen
    • aus Darstellungen relevante Informationen entnehmen 
    • zwischen natürlicher Sprache und symbolisch-formaler Sprache der Mathematik wechseln
    • unterschiedliche mathematische Darstellungsformen verwenden und vernetzen (verbal, grafisch, tabellarisch, symbolisch)
    • eine zur Problemstellung passende Darstellung auswählen
    • zwischen verschiedenen mathematischen Darstellungen wechseln
    • Zusammenhänge zwischen verschiedenen Darstellungen erklären
    • gegebene Darstellungen kritisch prüfen und ihre Aussagekraft beurteilen
    • missverständliche Darstellungen erkennen und mögliche Fehlinterpretationen benennen
    • geeignete mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen und Dokumentieren von Ergebnissen erzeugen
    • eigene Darstellungen passend zur Problemstellung entwickeln
  • 2.5 Mit mathematischen Objekten umgehen
    • 2.5 Mit mathematischen Objekten umgehen
    • mathematische Objekte (zum Beispiel Zahlen, Größen, Strecken, Terme, Gleichungen, Funktionen) verstehen und ihre Bedeutung und innere Struktur beschreiben
    • mit mathematischen Objekten sicher und flexibel umgehen
    • Berechnungen ausführen
    • Routineverfahren anwenden und miteinander kombinieren
    • zu einer Problemstellung geeignete Lösungsverfahren und Algorithmen auswählen und reflektiert anwenden 
    • Ergebnisse kritisch prüfen
    • die Struktur von Verfahren beschreiben und deren Schritte begründen
    • Verfahren bewerten und sie sachangemessen auf neue Situationen übertragen 
  • 2.6 Mathematisch kommunizieren
    • 2.6 Mathematisch kommunizieren
    • mathematische Einsichten und Lösungswege schriftlich dokumentieren oder mündlich darstellen und erläutern
    • ihre Ergebnisse strukturiert präsentieren
    • eigene Überlegungen in kurzen Beiträgen sowie selbstständige Problembearbeitungen in Vorträgen verständlich darstellen
    • vorläufige Formulierungen zu fachsprachlichen Formulierungen weiterentwickeln
    • ihre Ausführungen mit geeigneten Fachbegriffen darlegen
    • aus Quellen (Texten, Bildern und Tabellen) und aus Äußerungen anderer mathematische Informationen entnehmen
    • Äußerungen und Informationen sachgerecht analysieren, reflektieren, beurteilen und gegebenenfalls weiterführen (unter anderem konstruktiv mit Fehlern umgehen)
  • 2.7 Mit Medien mathematisch arbeiten
    • 2.7 Mit Medien mathematisch arbeiten
    • Hilfsmittel (zum Beispiel Formelsammlung, Geodreieck und Zirkel, Taschenrechner, Software) problemangemessen auswählen und einsetzen 
    • analoge und digitale Informationsquellen und Anschauungsmaterialien nutzen
    • Taschenrechner und weitere digitale Mathematikwerkzeuge (zum Beispiel Tabellenkalkulation, dynamische Mathematiksoftware) bedienen und zum Explorieren, Durchführen von Algorithmen, Problemlösen, Modellieren, Simulieren oder Verarbeiten von Daten einsetzen
    • Lernumgebungen zum selbstgesteuerten Lernen und Anwenden von Mathematik nutzen
    • Ergebnisse, die unter Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge gewonnen wurden, kritisch prüfen und ihre Passung zum Ausgangsproblem beurteilen
    • Informationsquellen und deren dargebotene Inhalte kritisch prüfen
    • mithilfe digitaler Medien zu mathematischen Themen eigene Produkte (zum Beispiel bildliche Darstellungen, Animationen, Videos) anfertigen
    • bei der Entwicklung und Prüfung von Vermutungen Hilfsmittel verwenden
    • bei der Darstellung eigener Überlegungen geeignete Medien einsetzen

Operatoren

Anhänge zu Fachplänen

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3.5.4 Leit­idee Funk­tio­na­ler Zu­sam­men­hang

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler ler­nen ne­ben der na­tür­li­chen Ex­po­nen­ti­al­funk­ti­on wei­te­re Funk­tio­nen ken­nen, die sich aus ein­fa­chen Ver­knüp­fun­gen oder Ver­ket­tun­gen er­ge­ben. Sie un­ter­su­chen Funk­tio­nen und ih­re Gra­phen auf cha­rak­te­ris­ti­sche Ei­gen­schaf­ten (un­ter an­de­rem Mo­no­to­nie, Ex­trem­punk­te, Krüm­mungs­ver­hal­ten, Wen­de­punk­te, waag­rech­te Asym­pto­ten) auch mit­hil­fe von hö­he­ren Ab­lei­tun­gen.
Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler zie­hen Rück­schlüs­se von der Än­de­rungs­ra­te auf den Be­stand und nut­zen das In­te­gral für Flä­chen­in­halts­be­rech­nun­gen.
Die­se Kennt­nis­se wer­den zur Mo­del­lie­rung au­ßer­ma­the­ma­ti­scher Sach­ver­hal­te und zur Funk­ti­ons­be­stim­mung ver­wen­det. Da­bei wer­den die hän­di­schen Fer­tig­kei­ten der Schü­le­rin­nen und Schü­ler durch den Ein­satz di­gi­ta­ler Werk­zeu­ge er­gänzt.

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler kön­nen

mit der na­tür­li­chen Ex­po­nen­ti­al­funk­ti­on um­ge­hen
(1)

die be­son­de­re Be­deu­tung der Ba­sis e bei Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen be­schrei­ben
(2)

cha­rak­te­ris­ti­sche Ei­gen­schaf­ten der Funk­ti­on \(f\) mit \(f(x)=e^{x}\) be­schrei­ben und de­ren Graph mit des­sen waag­rech­ter Asym­pto­te skiz­zie­ren
(3)

die Ab­lei­tungs­funk­ti­on und ei­ne Stamm­funk­ti­on der Funk­ti­on \(f\) mit \(f(x)=e^{x}\) an­ge­ben

mit zu­sam­men­ge­setz­ten Funk­tio­nen um­ge­hen
(4)

Ver­ket­tun­gen von Funk­tio­nen er­ken­nen, falls die in­ne­re Funk­ti­on ei­ne li­nea­re Funk­ti­on ist
(5)

Gra­phen von zu­sam­men­ge­setz­ten Funk­tio­nen (Sum­me, Pro­dukt, Ver­ket­tung mit li­nea­rer in­ne­rer Funk­ti­on) un­ter­su­chen
BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_IK_12-13-B­F_01_00_03
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_IK_12-13-B­F_01_00_02

Dif­fe­ren­ti­al­rech­nung an­wen­den
(6)

Ex­trem­wer­te auch in au­ßer­ma­the­ma­ti­schen Sach­zu­sam­men­hän­gen be­stim­men
(7)

ei­nen Funk­ti­ons­term er­mit­teln, falls die­ser durch die Ei­gen­schaf­ten ei­nes Gra­phen ein­deu­tig fest­ge­legt ist
BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_02_07

die Grund­idee der In­te­gral­rech­nung ver­ste­hen und mit In­te­gra­len um­ge­hen
(8)

den Wert des be­stimm­ten In­te­grals als ori­en­tier­ten Flä­chen­in­halt und als Be­stands­ver­än­de­rung deu­ten
(9)

Funk­tio­nen aus ih­ren Än­de­rungs­ra­ten re­kon­stru­ie­ren
(10)

den Be­stand aus An­fangs­be­stand und Än­de­rungs­ra­ten be­stim­men
BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_IK_12-13-B­F_02_00_06
(11)

den Haupt­satz der Dif­fe­ren­ti­al- und In­te­gral­rech­nung an­wen­den
(12)

vom Gra­phen der Funk­ti­on auf den Gra­phen ei­ner Stamm­funk­ti­on schlie­ßen und um­ge­kehrt
(13)

die Li­nea­ri­tät des In­te­grals an­schau­lich be­grün­den und re­chen­öko­no­misch nut­zen
BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_01_08
, BP2016B­W_ALL­G_G­MSO_M.V2_P­K_01_01
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Umsetzungshilfen
Hinweis
Die Beispielcurricula, Synopsen und Kompetenzraster sind bei den inhaltsbezogenen Kompetenzen des jeweiligen Faches zu finden.