Kultusministerium Zentrum für Schulqualität und Lehrerbildung
Mathematik
Leitgedanken zum Kompetenzerwerb
Prozessbezogene Kompetenzen zurücksetzen
  • 2.1 Argumentieren und Beweisen
    • 2.1 Argumentieren und Beweisen
    • in mathematischen Zusammenhängen Vermutungen entwickeln und als mathematische Aussage formulieren
    • eine Vermutung anhand von Beispielen auf ihre Plausibilität prüfen oder anhand eines Gegenbeispiels widerlegen
    • bei der Entwicklung und Prüfung von Vermutungen Hilfsmittel verwenden (zum Beispiel Taschenrechner, Computerprogramme)
    • in einer mathematischen Aussage zwischen Voraussetzung und Behauptung unterscheiden
    • eine mathematische Aussage in einer standardisierten Form (zum Beispiel Wenn – Dann) formulieren
    • zu einem Satz die Umkehrung bilden (E)
    • zwischen Satz und Kehrsatz unterscheiden und den Unterschied an Beispielen erklären (E)
    • mathematische Verfahren und ihre Vorgehensweisen erläutern und begründen
    • beim Erläutern und Begründen unterschiedliche Darstellungsformen verwenden (verbal, zeichnerisch, tabellarisch, formalisiert)
    • Beweise nachvollziehen und wiedergeben
    • bei mathematischen Beweisen die Argumentation auf die zugrunde liegende Begründungsbasis zurückführen
    • ausgehend von einer Begründungsbasis durch zulässige Schlussfolgerungen eine mehrschrittige Argumentationskette aufbauen (E)
    • Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen und Beweise führen (E)
    • Beziehungen zwischen mathematischen Sätzen aufzeigen (E)
  • 2.2 Probleme lösen
    • 2.2 Probleme lösen
    • das Problem mit eigenen Worten beschreiben
    • Informationen aus den gegebenen Texten, Bildern und Diagrammen entnehmen und auf ihre Bedeutung für die Problemlösung bewerten
    • durch Verwendung verschiedener Darstellungen (informative Figur, verbale Beschreibung, Tabelle, Graph, symbolische Darstellung, Koordinaten) das Problem durchdringen oder umformulieren
    • Hilfsmittel und Informationsquellen (zum Beispiel Formelsammlung, Taschenrechner, Computerprogramme, Internet) nutzen
    • durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermutungen kommen und diese auf Plausibilität überprüfen
    • das Problem durch Zerlegen in Teilprobleme oder das Einführen von Hilfsgrößen oder Hilfslinien vereinfachen
    • mit formalen Rechenstrategien (unter anderem Äquivalenzumformung von Gleichungen) Probleme auf algebraischer Ebene bearbeiten
    • das Aufdecken von Regelmäßigkeiten oder mathematischen Mustern für die Problemlösung nutzen
    • durch Vorwärts- oder Rückwärtsarbeiten Lösungsschritte finden
    • Sonderfälle oder Verallgemeinerungen untersuchen
    • das Problem auf Bekanntes zurückführen oder Analogien herstellen
    • Zusammenhänge zwischen unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik zum Lösen nutzen
    • Ergebnisse, auch Zwischenergebnisse, auf Plausibilität oder an Beispielen prüfen
    • kritisch prüfen, inwieweit eine Problemlösung erreicht wurde
    • Fehler analysieren und konstruktiv nutzen
    • Lösungswege vergleichen
  • 2.3 Modellieren
    • 2.3 Modellieren
    •  wesentliche Informationen entnehmen und strukturieren
    •  ergänzende Informationen beschaffen und dazu Informationsquellen nutzen
    •  Situationen vereinfachen
    • relevante Größen und ihre Beziehungen identifizieren
    • die Beziehungen zwischen diesen Größen mithilfe von Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Figuren, Diagrammen, Tabellen oder Zufallsversuchen beschreiben
    • Grundvorstellungen zu mathematischen Operationen nutzen und die Eignung mathematischer Verfahren einschätzen
    • zu einer Situation passende mathematische Modelle (zum Beispiel arithmetische Operationen, geometrische Modelle, Terme und Gleichungen, stochastische Modelle) auswählen oder konstruieren
    • Hilfsmittel verwenden
    • rechnen, mathematische Algorithmen oder Konstruktionen ausführen
    • die Ergebnisse aus einer mathematischen Modellierung in die Realität übersetzen
    • die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung in der jeweiligen Realsituation überprüfen
    • die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung bewerten und gegebenenfalls Überlegungen zur Verbesserung der Modellierung anstellen (E)
  • 2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
    • 2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
    • zwischen natürlicher Sprache und symbolisch-formaler Sprache der Mathematik wechseln
    • mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen, zum Modellieren und zum Problemlösen auswählen und verwenden
    • zwischen verschiedenen mathematischen Darstellungen wechseln
    • Berechnungen ausführen
    • Routineverfahren anwenden und miteinander kombinieren
    • Algorithmen reflektiert anwenden
    • Ergebnisse und die Eignung des Verfahrens kritisch prüfen
    • Hilfsmittel (zum Beispiel Formelsammlung, Geodreieck und Zirkel, Taschenrechner, Software) problemangemessen auswählen und einsetzen
    • Taschenrechner und mathematische Software (Tabellenkalkulation, Dynamische Geometriesoftware) bedienen und zum Explorieren, Problemlösen und Modellieren einsetzen
    • Ergebnisse, die unter Verwendung eines Taschenrechners oder Computers gewonnen wurden, kritisch prüfen
  • 2.5 Kommunizieren
    • 2.5 Kommunizieren
    • mathematische Einsichten und Lösungswege schriftlich dokumentieren oder mündlich darstellen und erläutern
    • ihre Ergebnisse strukturiert präsentieren
    • eigene Überlegungen in kurzen Beiträgen sowie selbstständige Problembearbeitungen in Vorträgen verständlich darstellen
    • bei der Darstellung ihrer Ausführungen geeignete Medien einsetzen
    • vorläufige Formulierungen zu fachsprachlichen Formulierungen weiterentwickeln
    • ihre Ausführungen mit geeigneten Fachbegriffen darlegen
    • aus Quellen (Texten, Bildern und Tabellen) und aus Äußerungen anderer mathematische Informationen entnehmen
    • Äußerungen und Informationen analysieren und beurteilen

Operatoren

Anhänge zu Fachplänen

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Mit der na­tür­li­chen Ex­po­nen­ti­al- und Lo­ga­rith­mus­funk­ti­on um­ge­hen

(1)

die be­son­de­re Be­deu­tung der Ba­sis e bei Ex­po­nen­ti­al­funk­tio­nen er­läu­tern

BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_11-12-L­F_01_00_01

(2)

die Gra­phen der na­tür­li­chen Ex­po­nen­ti­al- und Lo­ga­rith­mus­funk­ti­on un­ter Ver­wen­dung cha­rak­te­ris­ti­scher Ei­gen­schaf­ten skiz­zie­ren und die Be­zie­hung zwi­schen den Gra­phen be­schrei­ben

BP2016B­W_ALL­G_GYM_CH_IK_11-12-B­F_01_00_09
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_CH_IK_11-12-L­F_03_00_05
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_CH_IK_11-12-L­F_03_00_07

(3)

cha­rak­te­ris­ti­sche Ei­gen­schaf­ten der Funk­ti­on \(f\) mit \(f(x)=e^{x}\) be­schrei­ben

(4)

die Ab­lei­tungs­funk­ti­on und ei­ne Stamm­funk­ti­on der Funk­ti­on \(f\) mit \(f(x)=e^{x}\) an­ge­ben

(5)

die Ab­lei­tungs­funk­ti­on der Funk­ti­on \(f\) mit \(f(x)=ln(x)\) an­ge­ben

Mit zu­sam­men­ge­setz­ten Funk­tio­nen um­ge­hen

(6)

Funk­tio­nen ver­ket­ten und Ver­ket­tun­gen von Funk­tio­nen er­ken­nen

(7)

die Gra­phen von Funk­tio­nen in ein­fa­chen Fäl­len auf waag­rech­te und senk­rech­te Asym­pto­ten und Null­stel­len un­ter­su­chen, de­ren Funk­ti­ons­term als Quo­ti­ent zu­vor be­han­del­ter Funk­ti­ons­ty­pen ge­bil­det wer­den kann

(8)

Gra­phen von zu­sam­men­ge­setz­ten Funk­tio­nen (Sum­me, Pro­dukt, Ver­ket­tung) un­ter­su­chen

BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_11-12-L­F_01_00_03
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_11-12-L­F_01_00_04

Dif­fe­ren­ti­al­rech­nung an­wen­den

(9)

Ex­trem­wert­pro­ble­me mit Ne­ben­be­din­gun­gen lö­sen

(10)

ei­nen Funk­ti­ons­term zu ge­ge­be­nen Ei­gen­schaf­ten ei­nes Gra­phen er­mit­teln

BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_03_07

(11)

bei Funk­tio­nen­scha­ren ein­zel­ne Fra­ge­stel­lun­gen zu Ei­gen­schaf­ten ih­rer Gra­phen oder zu Zu­sam­men­hän­gen zwi­schen den Gra­phen un­ter­su­chen

Die Grund­idee der In­te­gral­rech­nung ver­ste­hen und mit In­te­gra­len um­ge­hen

(12)

den Wert des be­stimm­ten In­te­grals als ori­en­tier­ten Flä­chen­in­halt und als Be­stands­ver­än­de­rung er­klä­ren

(13)

Funk­tio­nen aus ih­ren Än­de­rungs­ra­ten re­kon­stru­ie­ren

(14)

den Be­stand aus An­fangs­be­stand und Än­de­rungs­ra­ten be­stim­men

BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_11-12-L­F_02_00_07

(15)

den In­halt des Haupt­sat­zes der Dif­fe­ren­ti­al- und In­te­gral­rech­nung an­ge­ben

(16)

die Be­grif­fe In­te­gral­funk­ti­on und Stamm­funk­ti­on ge­gen­ein­an­der ab­gren­zen

(17)

vom Gra­phen der Funk­ti­on auf den Gra­phen ei­ner Stamm­funk­ti­on schlie­ßen und um­ge­kehrt

(18)

den Haupt­satz der Dif­fe­ren­ti­al- und In­te­gral­rech­nung in Be­grün­dungs­zu­sam­men­hän­gen, zum Bei­spiel zum Nach­weis der Li­nea­ri­tät des In­te­grals, nut­zen

(19)

die Li­nea­ri­tät des In­te­grals an­schau­lich be­grün­den und re­chen­öko­no­misch nut­zen

BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_01_10
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_01_12
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_01_09
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_01_01
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_01_07

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler kön­nen

G

M

E

Da­ten er­fas­sen, dar­stel­len, aus- und be­wer­ten
(1)

ei­ne Da­ten­er­he­bung bei vor­ge­ge­be­nen Merk­ma­len und Merk­mals­aus­prä­gun­gen mit­hil­fe pla­nen und selbst­stän­dig durch­füh­ren
(1)

zu ei­ner vor­ge­ge­be­nen sta­tis­ti­schen Fra­ge­stel­lung ei­ne Da­ten­er­he­bung selbst­stän­dig pla­nen und selbst­stän­dig durch­füh­ren
(1)

[Teil­kom­pe­tenz schon in Klas­sen 5/6]
(2)

Da­ten aus vor­ge­ge­be­nen Se­kun­där­quel­len (z. B. Tex­te, Dia­gram­me) ent­neh­men
(2)

Da­ten aus vor­ge­ge­be­nen Se­kun­där­quel­len (z. B. Tex­te, Dia­gram­me) ent­neh­men
(2)

zu ei­ner sta­tis­ti­schen Fra­ge­stel­lung Da­ten aus Se­kun­där­quel­len ent­neh­men
BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_02_04
, MB_03
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_02_02
BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_02_04
, MB_03
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_02_02
BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_02_04
, MB_03
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_02_02
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_05_07
(3)

Da­ten gra­phisch dar­stel­len (auch Kreis­dia­gramm), auch un­ter Ver­wen­dung von Soft­ware
(3)

Da­ten gra­phisch dar­stel­len (auch Box­plot), auch un­ter Ver­wen­dung von Soft­ware
(3)

Da­ten gra­phisch dar­stel­len (auch Box­plot), auch un­ter Ver­wen­dung von Soft­ware
MB_05
MB_05
MB_05
(4)

die Kenn­grö­ßen un­te­res und obe­res Quar­til, Me­di­an be­stim­men
(4)

die Kenn­grö­ßen un­te­res und obe­res Quar­til, Me­di­an be­stim­men
(5)

Box­plots er­stel­len und Ver­tei­lun­gen mit­hil­fe von Box­plots in­ter­pre­tie­ren und ver­glei­chen
(5)

Box­plots er­stel­len und Ver­tei­lun­gen mit­hil­fe von Box­plots in­ter­pre­tie­ren und ver­glei­chen
BO_01
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_04_09
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_05_07
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_04_02
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_05_08
BO_01
, MB_05
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_04_09
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_05_07
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_04_02
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_05_08
(6)

ein­fa­che sta­tis­ti­sche Aus­sa­gen mit­hil­fe von re­la­ti­ven Häu­fig­kei­ten und Mit­tel­wer­ten von Da­ten for­mu­lie­ren
(6)

ein­fa­che sta­tis­ti­sche Aus­sa­gen mit­hil­fe von Kenn­grö­ßen von Da­ten for­mu­lie­ren
(6)

sta­tis­ti­sche Aus­sa­gen mit­hil­fe von Kenn­grö­ßen von Da­ten for­mu­lie­ren
(7)

Da­ten aus ih­rer Er­fah­rungs­welt bei über­ein­stim­men­der Dar­stel­lungs­form aus­wer­ten, ver­glei­chen und be­wer­ten
(7)

Da­ten aus ih­rer Er­fah­rungs­welt auch bei un­ter­schied­li­chen Dar­stel­lungs­for­men aus­wer­ten, ver­glei­chen und be­wer­ten
(7)

[Teil­kom­pe­tenz schon in Klas­sen 5/6]
(8)

gra­phi­sche sta­tis­ti­sche Dar­stel­lun­gen hin­sicht­lich ih­rer Eig­nung be­ur­tei­len
(8)

gra­phi­sche sta­tis­ti­sche Dar­stel­lun­gen hin­sicht­lich ih­rer Eig­nung und hin­sicht­lich mög­li­cher Ir­re­füh­rung be­ur­tei­len
(8)

gra­phi­sche sta­tis­ti­sche Dar­stel­lun­gen kri­tisch be­ur­tei­len
VB_08
, MB_02
, BNE_03
VB_08
, MB_02
, BNE_03
VB_08
, MB_02
, BNE_03
(9)

Aus­sa­gen, die auf ei­ner Da­ten­ana­ly­se ba­sie­ren, nach vor­ge­ge­be­nen Kri­te­ri­en be­wer­ten
(9)

Aus­sa­gen, die auf ei­ner Da­ten­ana­ly­se ba­sie­ren, be­wer­ten
(9)

Aus­sa­gen, die auf ei­ner Da­ten­ana­ly­se ba­sie­ren, for­mu­lie­ren und be­wer­ten
VB_08
, BTV_01
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_05_03
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_05_01
VB_08
, BTV_01
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_05_03
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_05_01
VB_08
, BTV_01
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_05_03
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_05_01

Wahr­schein­lich­kei­ten ver­ste­hen und be­rech­nen
(10)

Wahr­schein­lich­keits­aus­sa­gen in all­täg­li­chen Si­tua­tio­nen ver­ste­hen und be­schrei­ben
(10)

Wahr­schein­lich­keits­aus­sa­gen in all­täg­li­chen Si­tua­tio­nen ver­ste­hen und be­schrei­ben
(10)

die Be­deu­tung von Wahr­schein­lich­keits­aus­sa­gen in all­täg­li­chen Si­tua­tio­nen er­klä­ren
(11)

die Be­grif­fe Er­geb­nis und Er­eig­nis bei Zu­falls­ex­pe­ri­men­ten er­läu­tern
(11)

die Be­grif­fe Er­geb­nis und Er­eig­nis bei Zu­falls­ex­pe­ri­men­ten er­läu­tern
(11)

die Be­grif­fe Er­geb­nis und Er­eig­nis bei Zu­falls­ex­pe­ri­men­ten er­läu­tern
(12)

Er­eig­nis­se in ge­eig­ne­ter Form dar­stel­len
(12)

Er­eig­nis­se in ge­eig­ne­ter Form dar­stel­len
(12)

Er­eig­nis­se in ge­eig­ne­ter Form dar­stel­len (u. a. in Men­gen­schreib­wei­se)
(13)

die An­zahl der je­wei­li­gen Mög­lich­kei­ten in kon­kre­ten Si­tua­tio­nen (mög­li­che und güns­ti­ge Er­geb­nis­se) durch ein­fa­che kom­bi­na­to­ri­sche Über­le­gun­gen be­stim­men
(13)

die An­zahl der je­wei­li­gen Mög­lich­kei­ten in kon­kre­ten Si­tua­tio­nen (mög­li­che und güns­ti­ge Er­geb­nis­se) durch ein­fa­che kom­bi­na­to­ri­sche Über­le­gun­gen be­stim­men
(13)

die An­zahl der je­wei­li­gen Mög­lich­kei­ten in kon­kre­ten Si­tua­tio­nen (mög­li­che und güns­ti­ge Er­geb­nis­se) durch ein­fa­che kom­bi­na­to­ri­sche Über­le­gun­gen be­stim­men
BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_02_05
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_03_03
BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_02_05
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_03_03
BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_02_05
, BP2016B­W_ALL­G_SE­K1_M_P­K_03_03
(14)

Wahr­schein­lich­kei­ten von Er­eig­nis­sen ver­glei­chen und ins­be­son­de­re bei La­place-Ex­pe­ri­men­ten be­stim­men
(14)

Wahr­schein­lich­kei­ten von Er­eig­nis­sen ver­glei­chen und ins­be­son­de­re bei La­place-Ex­pe­ri­men­ten be­stim­men
(14)

Wahr­schein­lich­kei­ten von Er­eig­nis­sen ver­glei­chen und ins­be­son­de­re bei La­place-Ex­pe­ri­men­ten be­stim­men
(15)

Wahr­schein­lich­kei­ten un­ter Ver­wen­dung des Ge­ge­ner­eig­nis­ses be­rech­nen
(15)

Wahr­schein­lich­kei­ten un­ter Ver­wen­dung des Ge­ge­ner­eig­nis­ses be­rech­nen
(16)

Zu­falls­ex­pe­ri­men­te – auch un­ter Ver­wen­dung di­gi­ta­ler Werk­zeu­ge – durch­füh­ren und aus­wer­ten
(16)

Zu­falls­ex­pe­ri­men­te – auch un­ter Ver­wen­dung di­gi­ta­ler Werk­zeu­ge – durch­füh­ren und aus­wer­ten
(16)

Zu­falls­ex­pe­ri­men­te – auch un­ter Ver­wen­dung di­gi­ta­ler Werk­zeu­ge – durch­füh­ren und aus­wer­ten
MB_08
MB_08
MB_08
(17)

Wahr­schein­lich­kei­ten mit­hil­fe re­la­ti­ver Häu­fig­kei­ten em­pi­risch be­stim­men (Ge­setz der gro­ßen Zah­len)
(17)

Wahr­schein­lich­kei­ten mit­hil­fe re­la­ti­ver Häu­fig­kei­ten em­pi­risch be­stim­men (Ge­setz der gro­ßen Zah­len)
(17)

Wahr­schein­lich­kei­ten mit­hil­fe re­la­ti­ver Häu­fig­kei­ten em­pi­risch be­stim­men (Ge­setz der gro­ßen Zah­len)
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Umsetzungshilfen
Hinweis
Die Beispielcurricula, Synopsen und Kompetenzraster sind bei den inhaltsbezogenen Kompetenzen des jeweiligen Faches zu finden.