Kultusministerium Zentrum für Schulqualität und Lehrerbildung
Mathematik
Leitgedanken zum Kompetenzerwerb
Prozessbezogene Kompetenzen zurücksetzen
  • 2.1 Argumentieren und Beweisen
    • 2.1 Argumentieren und Beweisen
    • in mathematischen Zusammenhängen Vermutungen entwickeln und als mathematische Aussage formulieren
    • eine Vermutung anhand von Beispielen auf ihre Plausibilität prüfen oder anhand eines Gegenbeispiels widerlegen
    • bei der Entwicklung und Prüfung von Vermutungen Hilfsmittel verwenden (zum Beispiel Taschenrechner, Computerprogramme)
    • in einer mathematischen Aussage zwischen Voraussetzung und Behauptung unterscheiden
    • eine mathematische Aussage in einer standardisierten Form (zum Beispiel Wenn-Dann) formulieren
    • zu einem Satz die Umkehrung bilden
    • zwischen Satz und Kehrsatz unterscheiden und den Unterschied an Beispielen erklären
    • mathematische Verfahren und ihre Vorgehensweisen erläutern und begründen
    • beim Erläutern und Begründen unterschiedliche Darstellungsformen verwenden (verbal, zeichnerisch, tabellarisch, formalisiert)
    • Beweise nachvollziehen und wiedergeben
    • bei mathematischen Beweisen die Argumentation auf die zugrunde liegende Begründungsbasis zurückführen
    • ausgehend von einer Begründungsbasis durch zulässige Schlussfolgerungen eine mehrschrittige Argumentationskette aufbauen
    • Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen und Beweise führen
    • Beziehungen zwischen mathematischen Sätzen aufzeigen
  • 2.2 Probleme lösen
    • 2.2 Probleme lösen
    • das Problem mit eigenen Worten beschreiben
    • Informationen aus den gegebenen Texten, Bildern und Diagrammen entnehmen und auf ihre Bedeutung für die Problemlösung bewerten
    • durch Verwendung verschiedener Darstellungen (informative Figur, verbale Beschreibung, Tabelle, Graph, symbolische Darstellung, Koordinaten) das Problem durchdringen oder umformulieren
    • Hilfsmittel und Informationsquellen (zum Beispiel Formelsammlung, Taschenrechner, Computerprogramme, Internet) nutzen
    • durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermutungen kommen und diese auf Plausibilität überprüfen
    • das Problem durch Zerlegen in Teilprobleme oder das Einführen von Hilfsgrößen oder Hilfslinien vereinfachen
    • mit formalen Rechenstrategien (unter anderem Äquivalenzumformung von Gleichungen und Prinzip der Substitution) Probleme auf algebraischer Ebene bearbeiten
    • das Aufdecken von Regelmäßigkeiten oder mathematischen Mustern für die Problemlösung nutzen
    • durch Vorwärts- oder Rückwärtsarbeiten Lösungsschritte finden
    • Sonderfälle oder Verallgemeinerungen untersuchen
    • das Problem auf Bekanntes zurückführen oder Analogien herstellen
    • Zusammenhänge zwischen unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik zum Lösen nutzen
    • Ergebnisse, auch Zwischenergebnisse, auf Plausibilität oder an Beispielen prüfen
    • kritisch prüfen, inwieweit eine Problemlösung erreicht wurde
    • Fehler analysieren und konstruktiv nutzen
    • Lösungswege vergleichen
  • 2.3 Modellieren
    • 2.3 Modellieren
    • wesentliche Informationen entnehmen und strukturieren
    • ergänzende Informationen beschaffen und dazu Informationsquellen nutzen
    • Situationen vereinfachen
    • relevante Größen und ihre Beziehungen identifizieren
    • die Beziehungen zwischen diesen Größen mithilfe von Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Figuren, Diagrammen, Tabellen oder Zufallsversuchen beschreiben
    • Grundvorstellungen zu mathematischen Operationen nutzen und die Eignung mathematischer Verfahren einschätzen
    • zu einer Situation passende mathematische Modelle (zum Beispiel arithmetische Operationen, geometrische Modelle, Terme und Gleichungen, stochastische Modelle) auswählen oder konstruieren
    • Hilfsmittel verwenden
    • rechnen, mathematische Algorithmen oder Konstruktionen ausführen
    • die Ergebnisse aus einer mathematischen Modellierung in die Realität übersetzen
    • die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung in der jeweiligen Realsituation überprüfen
    • die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung bewerten und gegebenenfalls Überlegungen zur Verbesserung der Modellierung anstellen
  • 2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
    • 2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
    • zwischen natürlicher Sprache und symbolisch-formaler Sprache der Mathematik wechseln
    • mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen, zum Modellieren und zum Problemlösen auswählen und verwenden
    • zwischen verschiedenen mathematischen Darstellungen wechseln
    • Berechnungen ausführen
    • Routineverfahren anwenden und miteinander kombinieren
    • Algorithmen reflektiert anwenden
    • Ergebnisse und die Eignung des Verfahrens kritisch prüfen
    • Hilfsmittel (zum Beispiel Formelsammlung, Geodreieck und Zirkel, Taschenrechner, Software) problemangemessen auswählen und einsetzen
    • Taschenrechner und mathematische Software (Tabellenkalkulation, Dynamische Geometriesoftware) bedienen und zum Explorieren, Problemlösen und Modellieren einsetzen
    • Ergebnisse, die unter Verwendung eines Taschenrechners oder Computers gewonnen wurden, kritisch prüfen
  • 2.5 Kommunizieren
    • 2.5 Kommunizieren
    • mathematische Einsichten und Lösungswege schriftlich dokumentieren oder mündlich darstellen und erläutern
    • ihre Ergebnisse strukturiert präsentieren
    • eigene Überlegungen in kurzen Beiträgen sowie selbstständige Problembearbeitungen in Vorträgen verständlich darstellen
    • bei der Darstellung ihrer Ausführungen geeignete Medien einsetzen
    • vorläufige Formulierungen zu fachsprachlichen Formulierungen weiterentwickeln
    • ihre Ausführungen mit geeigneten Fachbegriffen darlegen
    • aus Quellen (Texten, Bildern und Tabellen) und aus Äußerungen anderer mathematische Informationen entnehmen
    • Äußerungen und Informationen analysieren und beurteilen

Operatoren

Anhänge zu Fachplänen

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3.4.5 Leit­idee Da­ten und Zu­fall

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler er­hal­ten ei­nen Ein­blick in die Me­tho­den der be­ur­tei­len­den Sta­tis­tik, in­dem sie sich mit dem Tes­ten von Hy­po­the­sen und mit der In­ter­pre­ta­ti­on von sta­tis­ti­schen Aus­sa­gen kri­tisch aus­ein­an­der­set­zen. Hier­durch ler­nen sie die Ar­beits­wei­se em­pi­ri­scher Wis­sen­schaf­ten ken­nen und er­fah­ren, wie man va­li­de sta­tis­ti­sche Aus­sa­gen tref­fen kann.
Sie be­nut­zen di­gi­ta­le Hilfs­mit­tel beim Um­gang mit dis­kre­ten und ste­ti­gen Ver­tei­lun­gen. Im Kon­text der Un­ter­su­chung nor­mal­ver­teil­ter Zu­falls­grö­ßen nut­zen sie ih­re in der Ana­ly­sis ge­won­ne­nen Kom­pe­ten­zen.

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler kön­nen

Hy­po­the­sen bei bi­no­mi­al­ver­teil­ten Zu­falls­grö­ßen tes­ten
(1)

das Ar­gu­men­ta­ti­ons­mus­ter er­läu­tern, das dem Tes­ten von Hy­po­the­sen zu­grun­de liegt
(2)

ei­ne Null­hy­po­the­se so for­mu­lie­ren, dass sie der Ziel­set­zung des Tests ent­spricht
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_03_03
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_03_07
(3)

Ab­leh­nungs­be­reich und Irr­tums­wahr­schein­lich­keit an ei­nem His­to­gramm er­läu­tern
(4)

ein- und zwei­sei­ti­ge Hy­po­the­sen­tests durch­füh­ren und den Ab­leh­nungs­be­reich, die Ent­schei­dungs­re­gel und die Irr­tums­wahr­schein­lich­keit an­ge­ben
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_08
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_03_08
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_03_03
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_09
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_03_07
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_03
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_05_08
(5)

Si­gni­fi­k­anz­ni­veau und Irr­tums­wahr­schein­lich­keit ge­gen­ein­an­der ab­gren­zen
(6)

Feh­ler ers­ter und zwei­ter Art im Kon­text ei­nes Hy­po­the­sen­tests er­läu­tern
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_01_03
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_01_01
(7)

den Ein­fluss des Stich­pro­ben­um­fangs auf die Wahr­schein­lich­kei­ten für den Feh­ler ers­ter Art (das Ri­si­ko ers­ter Art) und für den Feh­ler zwei­ter Art (das Ri­si­ko zwei­ter Art) an­ge­ben
MB_03
, VB_05

Mit Nor­mal­ver­tei­lun­gen um­ge­hen
(8)

den Un­ter­schied zwi­schen dis­kre­ten und ste­ti­gen Zu­falls­grö­ßen er­läu­tern
(9)

die Dichte­funk­ti­on ei­ner nor­mal­ver­teil­ten Zu­falls­grö­ße mit­hil­fe von Er­war­tungs­wert und Stan­dard­ab­wei­chung an­ge­ben und die zu­ge­hö­ri­ge Glo­cken­kur­ve skiz­zie­ren
(10)

sto­chas­ti­sche Si­tua­tio­nen un­ter­su­chen, die zu an­nä­hernd nor­mal­ver­teil­ten Zu­falls­grö­ßen ge­hö­ren, und Wahr­schein­lich­kei­ten be­rech­nen
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_03_05
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_03_04
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_03_01
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_03_07
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Umsetzungshilfen
Hinweis
Die Beispielcurricula, Synopsen und Kompetenzraster sind bei den inhaltsbezogenen Kompetenzen des jeweiligen Faches zu finden.