Kultusministerium Zentrum für Schulqualität und Lehrerbildung
Mathematik
Leitgedanken zum Kompetenzerwerb
Prozessbezogene Kompetenzen zurücksetzen
  • 2.1 Argumentieren und Beweisen
    • 2.1 Argumentieren und Beweisen
    • in mathematischen Zusammenhängen Vermutungen entwickeln und als mathematische Aussage formulieren
    • eine Vermutung anhand von Beispielen auf ihre Plausibilität prüfen oder anhand eines Gegenbeispiels widerlegen
    • bei der Entwicklung und Prüfung von Vermutungen Hilfsmittel verwenden (zum Beispiel Taschenrechner, Computerprogramme)
    • in einer mathematischen Aussage zwischen Voraussetzung und Behauptung unterscheiden
    • eine mathematische Aussage in einer standardisierten Form (zum Beispiel Wenn-Dann) formulieren
    • zu einem Satz die Umkehrung bilden
    • zwischen Satz und Kehrsatz unterscheiden und den Unterschied an Beispielen erklären
    • mathematische Verfahren und ihre Vorgehensweisen erläutern und begründen
    • beim Erläutern und Begründen unterschiedliche Darstellungsformen verwenden (verbal, zeichnerisch, tabellarisch, formalisiert)
    • Beweise nachvollziehen und wiedergeben
    • bei mathematischen Beweisen die Argumentation auf die zugrunde liegende Begründungsbasis zurückführen
    • ausgehend von einer Begründungsbasis durch zulässige Schlussfolgerungen eine mehrschrittige Argumentationskette aufbauen
    • Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen und Beweise führen
    • Beziehungen zwischen mathematischen Sätzen aufzeigen
  • 2.2 Probleme lösen
    • 2.2 Probleme lösen
    • das Problem mit eigenen Worten beschreiben
    • Informationen aus den gegebenen Texten, Bildern und Diagrammen entnehmen und auf ihre Bedeutung für die Problemlösung bewerten
    • durch Verwendung verschiedener Darstellungen (informative Figur, verbale Beschreibung, Tabelle, Graph, symbolische Darstellung, Koordinaten) das Problem durchdringen oder umformulieren
    • Hilfsmittel und Informationsquellen (zum Beispiel Formelsammlung, Taschenrechner, Computerprogramme, Internet) nutzen
    • durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermutungen kommen und diese auf Plausibilität überprüfen
    • das Problem durch Zerlegen in Teilprobleme oder das Einführen von Hilfsgrößen oder Hilfslinien vereinfachen
    • mit formalen Rechenstrategien (unter anderem Äquivalenzumformung von Gleichungen und Prinzip der Substitution) Probleme auf algebraischer Ebene bearbeiten
    • das Aufdecken von Regelmäßigkeiten oder mathematischen Mustern für die Problemlösung nutzen
    • durch Vorwärts- oder Rückwärtsarbeiten Lösungsschritte finden
    • Sonderfälle oder Verallgemeinerungen untersuchen
    • das Problem auf Bekanntes zurückführen oder Analogien herstellen
    • Zusammenhänge zwischen unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik zum Lösen nutzen
    • Ergebnisse, auch Zwischenergebnisse, auf Plausibilität oder an Beispielen prüfen
    • kritisch prüfen, inwieweit eine Problemlösung erreicht wurde
    • Fehler analysieren und konstruktiv nutzen
    • Lösungswege vergleichen
  • 2.3 Modellieren
    • 2.3 Modellieren
    • wesentliche Informationen entnehmen und strukturieren
    • ergänzende Informationen beschaffen und dazu Informationsquellen nutzen
    • Situationen vereinfachen
    • relevante Größen und ihre Beziehungen identifizieren
    • die Beziehungen zwischen diesen Größen mithilfe von Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Figuren, Diagrammen, Tabellen oder Zufallsversuchen beschreiben
    • Grundvorstellungen zu mathematischen Operationen nutzen und die Eignung mathematischer Verfahren einschätzen
    • zu einer Situation passende mathematische Modelle (zum Beispiel arithmetische Operationen, geometrische Modelle, Terme und Gleichungen, stochastische Modelle) auswählen oder konstruieren
    • Hilfsmittel verwenden
    • rechnen, mathematische Algorithmen oder Konstruktionen ausführen
    • die Ergebnisse aus einer mathematischen Modellierung in die Realität übersetzen
    • die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung in der jeweiligen Realsituation überprüfen
    • die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung bewerten und gegebenenfalls Überlegungen zur Verbesserung der Modellierung anstellen
  • 2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
    • 2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
    • zwischen natürlicher Sprache und symbolisch-formaler Sprache der Mathematik wechseln
    • mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen, zum Modellieren und zum Problemlösen auswählen und verwenden
    • zwischen verschiedenen mathematischen Darstellungen wechseln
    • Berechnungen ausführen
    • Routineverfahren anwenden und miteinander kombinieren
    • Algorithmen reflektiert anwenden
    • Ergebnisse und die Eignung des Verfahrens kritisch prüfen
    • Hilfsmittel (zum Beispiel Formelsammlung, Geodreieck und Zirkel, Taschenrechner, Software) problemangemessen auswählen und einsetzen
    • Taschenrechner und mathematische Software (Tabellenkalkulation, Dynamische Geometriesoftware) bedienen und zum Explorieren, Problemlösen und Modellieren einsetzen
    • Ergebnisse, die unter Verwendung eines Taschenrechners oder Computers gewonnen wurden, kritisch prüfen
  • 2.5 Kommunizieren
    • 2.5 Kommunizieren
    • mathematische Einsichten und Lösungswege schriftlich dokumentieren oder mündlich darstellen und erläutern
    • ihre Ergebnisse strukturiert präsentieren
    • eigene Überlegungen in kurzen Beiträgen sowie selbstständige Problembearbeitungen in Vorträgen verständlich darstellen
    • bei der Darstellung ihrer Ausführungen geeignete Medien einsetzen
    • vorläufige Formulierungen zu fachsprachlichen Formulierungen weiterentwickeln
    • ihre Ausführungen mit geeigneten Fachbegriffen darlegen
    • aus Quellen (Texten, Bildern und Tabellen) und aus Äußerungen anderer mathematische Informationen entnehmen
    • Äußerungen und Informationen analysieren und beurteilen

Operatoren

Anhänge zu Fachplänen

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3.5.2 Leit­idee Mes­sen

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler be­rech­nen mit den Me­tho­den der ana­ly­ti­schen Geo­me­trie Ab­stän­de und Win­kel­wei­ten zwi­schen geo­me­tri­schen Ob­jek­ten in der Ebe­ne und im Raum. Sie nut­zen hier­für das Ska­lar- oder Vek­tor­pro­dukt zwei­er Vek­to­ren und er­mit­teln auch Flä­chen- und Raum­in­hal­te.
Sie ler­nen die In­te­gral­rech­nung als wich­ti­ges Hilfs­mit­tel zur Flä­chen­be­rech­nung ken­nen.

Die Schü­le­rin­nen und Schü­ler kön­nen

Win­kel­wei­ten, Ab­stän­de und Flä­chen­in­hal­te in kar­te­si­schen Ko­or­di­na­ten­sys­te­men be­rech­nen
(1)

die Or­tho­go­na­li­tät zwei­er Vek­to­ren mit­hil­fe des Skalar­pro­dukts über­prü­fen
(2)

Win­kel­wei­ten mit­hil­fe des Skalar­pro­dukts be­stim­men
(3)

Schnitt­win­kel zwi­schen geo­me­tri­schen Ob­jek­ten (Ge­ra­den und Ebe­nen) be­stim­men
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_06
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_04
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_05
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_11-12-B­F_01_00_07
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_11-12-B­F_03_00_06
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_11-12-B­F_03_00_07
(4)

Ab­stän­de zwi­schen den geo­me­tri­schen Ob­jek­ten Punkt und Ebe­ne er­mit­teln
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_06
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_04
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_11-12-B­F_03_00_08
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_05
(5)

das Vek­tor­pro­dukt zum Er­mit­teln von Flä­chen­in­hal­ten an­wen­den
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_06
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_04
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_05
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_11-12-B­F_01_00_08

Das In­te­gral nut­zen
(6)

das be­stimm­te In­te­gral mit­hil­fe ei­nes Grenz­pro­zes­ses an­schau­lich be­schrei­ben und geo­me­trisch deu­ten
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_11-12-B­F_01_00_06
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_IK_9-10_02_00_01
(7)

Flä­chen­in­hal­te zwi­schen Graph und x-Ach­se und zwi­schen zwei Gra­phen be­stim­men
BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_04
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_07
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_05
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_02_06
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_02_03
, BP2016B­W_ALL­G_GYM_M_P­K_04_01
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Umsetzungshilfen
Hinweis
Die Beispielcurricula, Synopsen und Kompetenzraster sind bei den inhaltsbezogenen Kompetenzen des jeweiligen Faches zu finden.